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수학에서, 다항 계수(多項係數, 영어: multinomial coefficient)는 주어진 개수의 원소들을 주어진 크기의 상자들에 넣는 방법의 가짓수이다. 다항 정리(多項定理, 영어: multinomial theorem)는 다항식의 거듭제곱을 전개하는 정리이며, 전개식의 계수는 다항 계수이다. 다항 계수와 다항 정리는 이항 계수이항 정리의 일반화이다.

정의편집

음이 아닌 정수들의 합  이 주어졌을 때, 다항 계수  는 다음과 같다.

 

다항 계수를 단체에 나열한 표를 파스칼의 단체(Pascal의單體, 영어: Pascal's simplex)라고 한다.

성질편집

항등식편집

다음과 같은 점화식이 성립한다.

 

다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이는 다항 정리의 따름정리이다.

 

수론적 성질편집

다항 계수의 소인수의 중복도를 쿠머 정리를 통해 계산할 수 있다.

조합론적 성질편집

다항 계수  은 조합론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

  •   ( )을 만족시키는 함수  의 수
    • 즉,  개의 공을 크기가 각각   개의 상자에 넣는 방법의 수
  • 중복집합  순열의 수
    • 즉,  글자 단어가 각각  번 나오는  가지 글자로 이루어졌을 때, 그 단어의 어구전철의 수
  •   위의, 시작점이 0, 끝점이  , 보폭이 표준 기저인 격자 경로(영어: lattice path)의 개수[1]
  • 다항 전개의 계수

응용편집

다항 정리편집

다항 정리에 따르면, 다음과 같은 다항식의 전개가 성립한다.

 

다중지표 표기법을 사용하여 다항 정리를 다음과 같이 적을 수 있다.

 

전개식의 항의 개수는 다음과 같이 이항 계수로 나타낼 수 있다.

 

증명:

이항 정리수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 우선,  의 경우는 자명하게 성립하며,  의 경우는 이항 정리에 따라 성립한다.

 
 
 

이제,  에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

즉,  에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의  에 대하여 다항 정리가 성립한다.

다항 분포편집

참고 문헌편집

  1. Stanley, Richard P. (2011). 《Enumerative Combinatorics》 (영어) 1 2판. Cambridge University Press. 

외부 링크편집