교대 대수

추상대수학에서 교대 대수(交代代數, 영어: alternating algebra)는 결합 법칙보다 더 약한 형태의 결합성을 만족시키는 체 위의 대수이다.

정의

표수가 2가 아닌 체 위의 대수 $A$에 대하여, 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수를 교대 대수라고 한다.

• 다음 세 항등식 가운데 적어도 두 개가 성립한다.
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $a(ab)=a^{2}b$. 즉, $[a,a,b]=0$이다.
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $(ab)b=ab^{2}$. 즉, $[a,b,b]=0$이다.
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $(ab)a=a(ba)$. 즉, $[a,b,a]=0$이다.
• 위 세 항등식 모두가 성립한다.
• 결합자 $[a,b,c]$가 완전 반대칭이다. 즉, 임의의 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (3)$에 대하여 $[a_{1},a_{2},a_{3}]=(-1)^{\sigma }[a_{\sigma (1)},a_{\sigma (2)},a_{\sigma (3)}]$이다.

여기서

$[a,b,c]=(ab)c-a(bc)$

는 결합자이다.

성질

항등원을 갖는 교대 대수에서, 가역원들의 집합은 곱셈에 대하여 무팡 고리(영어: Moufang loop)를 이룬다.

아르틴 정리(영어: Artin’s theorem)에 따르면, 교대 대수에서 임의의 두 개의 원소로 생성되는 부분 대수는 항상 결합 대수이다.

모든 합성 대수(영어: composition algebra)는 교대 대수를 이룬다. 체 위의 모든 결합 대수는 교대 대수를 이룬다.

예

팔원수의 $\mathbb {R}$-대수는 결합 대수가 아닌 교대 대수이다.

참고 문헌

• Schafer, Richard D. (1966). 《An introduction to non-associative algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) 22. Academic Press. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 23일에 확인함. 

외부 링크

• “Alternative rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.