균등 유계성 원리
함수해석학에서 균등 유계성 원리(均等有界性原理, 영어: uniform boundedness principle) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, 영어: Banach–Steinhaus theorem)는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다.
정의
편집실수 바나흐 공간 및 실수 노름 공간 사이에 일련의 유계 작용소들 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다.
- (점별 유계성) 모든 에 대하여,
- (균등 유계성)
여기서 는 작용소 노름이다.
균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.
증명
편집바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.
베르 범주 정리를 사용한 증명:
역사
편집스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다.[2] 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.[3]
각주
편집- ↑ Sokal, Alan D. (2011). “A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 118: 450–452. arXiv:1005.1585. Bibcode:2010arXiv1005.1585S. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450.
- ↑ Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927). “Sur le principe de la condensation de singularités” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 9: 50–61. JFM 53.0243.02.
- ↑ Hahn, Hans (1922). “Über Folgen linearer Operationen”. 《Monatshefte für Mathematik und Physik》 (독일어) 32: 3–88. doi:10.1007/BF01696876.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform boundedness principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Banach-Steinhaus theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Banach-Steinhaus theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Uniform boundedness”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Banach-Steinhaus theorem”. 《nLab》 (영어).
- “Banach-Steinhaus Theorem”. 《ProofWiki》 (영어).