그로스-느뵈 모형

양자장론에서 그로스-느뵈 모형(영어: Gross–Neveu model)은 2차원 양자장론의 하나이다. 이 이론은 점근 자유성과 등각 변칙 및 손지기 대칭의 자발 대칭 깨짐을 보이며, 이러한 현상 때문에 양자 색역학의 장난감 모형으로 쓰인다.

역사

데이비드 그로스와 앙드레 느뵈(André Neveu)가 1974년 도입하였다.

정의

그로스-느뵈 모형은 1+1차원의 시공간에서 $N$개의 디랙 스피너 페르미온 $\psi _{a}$ ($a=1,\dots ,N$)을 포함하는 양자장론이며, 그 라그랑지언은 다음과 같다.

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{a}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ^{a}+{\frac {g^{2}}{2N}}({\bar {\psi }}_{a}\psi ^{a})^{2}$

여기서 $g$는 무차원 결합 상수이다.

성질

그로스-느뵈 모형은 U(N) 맛깔 대칭 및 다음과 같은 $\mathbb {Z} /2$ 손지기 대칭을 가진다.

$\psi ^{a}\mapsto \gamma _{3}\psi ^{a}$

${\bar {\psi }}\mapsto -{\bar {\psi }}\gamma _{3}$

맛깔 대칭은 깨지지 않지만, 손지기 대칭은 (양자 색역학의 손지기 대칭과 유사하게) 자발 대칭 깨짐을 겪는다. 즉, 진공 기댓값 $\langle {\bar {\psi }}^{a}\psi ^{a}\rangle$이 생기게 되며, 이에 따라 페르미온은 질량을 가지게 된다.

또한, 이 이론은 $1/N$ 섭동 이론을 가진다. $g$를 고정시키고 $1/N$으로 전개하자. 그렇다면, $N$에 대한 최고차항들만 남긴 이론은 양자 적분가능계이며, 정확히 풀 수 있다 (exactly solvable).

이 이론에서 $g$는 무차원 결합 상수이지만, 재규격화군 흐름을 갖는다. 높은 에너지에서는 $g\to 0$이므로, 점근 자유성을 갖는다.

같이 보기

• 슈윙거 모형
• 티링 모형