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근방 의 표현: 평면 위의 집합 는, 주위의 작은 원반이 에 포함되었다면 점 의 근방이다.

일반위상수학에서, 근방(近傍, 영어: neighbo(u)rhood)은 어떤 점의 주위를 포함하는 집합이다. 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않은 채 어느 정도 '움직일' 수 있다는 것이다. 근방은 위상공간 속의 기본적인 개념의 하나로, 열린 집합내부의 개념과도 밀접히 연관되어 있다.

정의편집

점의 근방편집

위상 공간   속의 점  근방x를 열린 부분집합의 원소로 포함하는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합  에 대하여  가 성립할 경우,  x의 근방이라 한다.

 열린 근방열린 집합인 근방이다. 즉, 어떤 열린 집합   를 만족시킨다면,   의 열린 근방을 이룬다.

x빠진 근방(영어: deleted neighborhood)은   꼴의 집합이다. 빠진 근방은 이름과 달리 근방이 아니다.

집합의 근방편집

위상 공간   속의 부분공간  근방 를 열린 부분집합의 부분집합으로 가지는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합  에 대하여  가 성립할 경우,   의 근방이라 한다.

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구체적인 공간에서의 근방은 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수선에서의 정의편집

 를 임의의 실수라 하자. 이 때, 반지름  의 근방  은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

 

즉,  에서의 근방은 개구간  과 같다. 또, 여기서  가 빠진 집합을 반지름  빠진 근방(deleted neighborhood)  이라 하고 다음과 같이 정의한다.

 

유클리드 공간에서의 정의편집

 에서 반지름  의 근방  은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

 

정의에서 보다시피,  일 때는  가 중심이고 반지름이  이며 경계가 빠진 원판을 의미하고,  일 때는  가 중심이고 반지름이  이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 반지름  의 빠진 근방  은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

 

외부 링크편집