급수량을 산정하는 것은 상하수도 시스템을 설계할 때 반드시 필요한 일이다. 도시, 마을, 공업단지 등의 상수도 수요를 예측하고 적절한 비용으로 적절한 규모의 시설을 설치하기 위해 급수량을 산정하는 일은 필수적이다.
계획 급수 인구
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계획 급수 인구란 상수도의 물을 공급받는 인구를 말한다.[5] [6]
계획 급수 인구 = 급수 구역 내 총 인구 × 상수도 보급율(%) 계획 급수 인구 추정
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계획 급수 인구를 추정하는 방법은 아래와 같은 방법들이 있다. 상수도의 계획 급수 인구에 대한 추정은 과거 약 20년간의 인구 자료를 보고 추정한다.
등차급수법 인구 추정 매년 일정한 숫자만큼 인구가 증가한다고 가정하는 방법이다. Pn 을 n년 후 인구, P0 를 현재 인구, Pt 를 t년 전 인구, a를 연 평균 인구 증가량이라 하면,
P
n
=
P
0
+
n
a
=
P
0
+
n
P
0
−
P
t
t
{\displaystyle P_{n}=P_{0}+na=P_{0}+n{\frac {P_{0}-P_{t}}{t}}}
등비급수법 인구추정 매년 일정한 비율만큼 인구가 증가한다고 가정하는 방법이다. r을 연 평균 인구 증가율이라 하면,
P
0
=
P
t
(
1
+
r
)
t
{\displaystyle P_{0}=P_{t}(1+r)^{t}}
r
=
(
P
0
P
t
)
1
t
−
1
{\displaystyle r=\left({\frac {P_{0}}{P_{t}}}\right)^{\frac {1}{t}}-1}
P
n
=
P
0
(
1
+
r
)
n
{\displaystyle P_{n}=P_{0}(1+r)^{n}}
예를 들어 어떤 도시의 1995년 인구가 10900명, 1999년 인구가 12200명으로 조사되었다고 하자. 이 도시가 발전 가능성이 있으며, 일정한 인구증가율을 보인다고 가정할 수 있는 경우 등비급수 방법을 활용할 수 있다. 조사된 인구 자료를 토대로, 2005년의 인구를 추정한다면 우선 연평균 인구증가율 r부터 구한다.
P
99
=
P
95
(
1
+
r
)
4
{\displaystyle P_{99}=P_{95}(1+r)^{4}}
r
=
(
P
99
P
95
)
1
4
−
1
=
0.02857
{\displaystyle r=\left({\frac {P_{99}}{P_{95}}}\right)^{\frac {1}{4}}-1=0.02857}
이제 1999년으로부터 6년 뒤인 2005년의 인구를 추정할 수 있다.
P
05
=
P
99
(
1
+
r
)
6
=
14447
{\displaystyle P_{05}=P_{99}(1+r)^{6}=14447}
최소제곱법에 의한 방법
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장래 인구수는 과거의 인구 통계자료를 가지고 연도에 따른 인구수의 방정식을 먼저 구한 뒤, 이를 이용해 계산하여 구한다.
n개의 연도와 인구 수 자료가 있다고 하자.
연도
인구 수
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
구하고자 하는 방정식은 Y = aX + b이다. 상수 a, b값을 안다면, 장래의 연도 x를 대입했을 때 장래 인구 수 y를 알 수 있을 것이다. a, b는 다음 연립방정식(정규방정식)을 풀어 계산한다.
a
∑
X
2
+
b
∑
X
=
∑
X
Y
{\displaystyle a\sum X^{2}+b\sum X=\sum XY}
a
∑
X
+
b
n
=
∑
Y
{\displaystyle a\sum X+bn=\sum Y}
a, b는 다음 값으로 나타난다.
a
=
n
Σ
X
Y
−
Σ
X
Σ
Y
n
Σ
X
2
−
Σ
X
Σ
X
{\displaystyle a={\frac {n\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}
b
=
Σ
X
2
Σ
Y
−
Σ
X
Σ
X
Y
n
Σ
X
2
−
Σ
X
Σ
X
{\displaystyle b={\frac {\Sigma X^{2}\Sigma Y-\Sigma X\Sigma XY}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}
예를 들어 1990년부터 1996년까지 기록된 인구 자료가 다음과 같다고 하자.
연도
인구(Y)
1990
177800
1991
182500
1992
187000
1993
192300
1994
194500
1995
199200
1996
203700
계산의 편의를 위해 연도를 다음과 같이 치환한다.
연도(X)
인구(Y)
-3
177800
-2
182500
-1
187000
0
192300
1
194500
2
199200
3
203700
정규방정식에 필요한 값들을 계산하면
∑
X
2
=
(
9
+
4
+
1
)
×
2
=
28
{\displaystyle \sum X^{2}=(9+4+1)\times 2=28}
∑
X
=
0
{\displaystyle \sum X=0}
∑
X
Y
=
118600
{\displaystyle \sum XY=118600}
∑
Y
=
1337000
{\displaystyle \sum Y=1337000}
정규방정식에 이 값들을 대입하면 a, b를 알 수 있다.
a
×
28
=
118600
{\displaystyle a\times 28=118600}
b
×
7
=
1337000
{\displaystyle b\times 7=1337000}
∴
Y
=
a
X
+
b
=
4235.714
X
+
191000
{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore Y&=aX+b\\&=4235.714X+191000\\\end{aligned}}}
93년도가 0년으로 되었으므로 2000년은 X = 7을 대입하여 계산한다. 따라서 2000년의 인구 수는 220,650명으로 예측할 수 있다.
로지스틱 커브. 인구가 일정 한도 이상으로 증가하지 않는 것을 볼 수 있다 로지스틱 커브 방법(Logistic Curve, 논리 곡선법)은 먼저 포화 인구를 추정한 후에 인구 증가 곡선을 그리는 방법이다. 포화 인구를 K라 하고, a, b는 상수라고 할 때,
P
n
=
K
1
+
e
a
−
b
n
{\displaystyle P_{n}={\frac {K}{1+e^{a-bn}}}}
로지스틱 커브 방법은 장기간에 걸친 인구 추정에 적합한 방법이다. 이 방법은 인구가 계속해서 증가한다고 예측하지 않는다는 점에서 좋으나, 포화인구를 몇 명으로 가정할 것인가 정하기 힘든 난점이 있다.
상수 a, b는 다음으로 구한다.
P
n
+
P
n
e
a
−
b
n
=
K
{\displaystyle P_{n}+P_{n}e^{a-bn}=K}
P
n
e
a
−
b
n
=
K
−
P
n
{\displaystyle P_{n}e^{a-bn}=K-P_{n}}
log
P
n
+
(
a
−
b
n
)
log
e
=
log
(
K
−
P
n
)
{\displaystyle \log P_{n}+(a-bn)\log e=\log(K-P_{n})}
log
P
n
−
log
(
K
−
P
n
)
⏟
Y
=
b
n
log
e
⏟
X
−
a
log
e
⏟
c
{\displaystyle \underbrace {\log P_{n}-\log(K-P_{n})} _{Y}=b\underbrace {n\log e} _{X}-\underbrace {a\log e} _{c}}
최소자승법을 이용해 b, c 계산
b
=
n
Σ
X
Y
−
Σ
X
Σ
Y
n
Σ
X
2
−
Σ
X
Σ
X
{\displaystyle b={\frac {n\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}
c
=
Σ
X
Σ
X
Y
−
Σ
X
2
Σ
Y
n
Σ
X
2
−
Σ
X
Σ
X
{\displaystyle c={\frac {\Sigma X\Sigma XY-\Sigma X^{2}\Sigma Y}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}
c를 안다면 a 역시 구할 수 있다.
최소자승법에서 사용한 통계표를 이용해 2000년의 인구를 추정해보자. 포화인구 K = 350,000명이라고 예상했다고 하자.
연도(n)
인구(y)
1990
177800
1991
182500
1992
187000
1993
192300
1994
194500
1995
199200
1996
203700
로지스틱 곡선식은
y
=
K
1
+
e
a
−
b
n
{\displaystyle y={\frac {K}{1+e^{a-bn}}}}
최소제곱법을 쓰기 위해 식을 정리하면
log
y
−
log
(
K
−
y
)
⏟
Y
=
b
n
log
e
⏟
X
+
−
a
log
e
⏟
c
{\displaystyle \underbrace {\log y-\log(K-y)} _{Y}=b\underbrace {n\log e} _{X}+\underbrace {-a\log e} _{c}}
여기에 대한 정규방정식은
b
∑
X
2
+
c
∑
X
=
∑
X
Y
{\displaystyle b\sum X^{2}+c\sum X=\sum XY}
b
∑
X
+
c
n
=
∑
Y
{\displaystyle b\sum X+cn=\sum Y}
계산의 편의를 위해 연도를 치환하고, 필요한 값들을 표로 만들어둔다.
연도(n)
인구(y)
K - y
-3
177800
172200
-2
182500
167500
-1
187000
163000
0
192300
157700
1
194500
155500
2
199200
150800
3
203700
146300
정규방정식의 미지수 b, c를 계산하기 위한 값들을 구한다.
∑
X
2
=
∑
(
n
log
e
)
2
=
∑
n
2
×
(
log
e
)
2
=
(
9
+
4
+
1
)
×
2
×
(
log
e
)
2
=
5.281
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum X^{2}=\sum (n\log e)^{2}&=\sum n^{2}\times (\log e)^{2}\\&=(9+4+1)\times 2\times (\log e)^{2}\\&=5.281\end{aligned}}}
∑
X
=
∑
n
log
e
=
log
e
∑
n
=
0
{\displaystyle \sum X=\sum n\log e=\log e\sum n=0}
∑
X
Y
=
∑
n
log
e
[
log
y
−
log
(
K
−
y
)
]
=
log
e
∑
n
[
log
y
−
log
(
K
−
y
)
]
=
log
e
×
0.5943593605
=
0.2581269905
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum XY&=\sum n\log e[\log y-\log(K-y)]\\&=\log e\sum n[\log y-\log(K-y)]\\&=\log e\times 0.5943593605\\&=0.2581269905\end{aligned}}}
∑
Y
=
∑
[
log
y
−
log
(
K
−
y
)
]
=
0.5587721677
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum Y&=\sum [\log y-\log(K-y)]\\&=0.5587721677\\\end{aligned}}}
정규방정식은 다음과 같이 간단해진다.
b
×
5.281
=
0.2581269905
{\displaystyle b\times 5.281=0.2581269905}
c
×
7
=
0.5587721677
{\displaystyle c\times 7=0.5587721677}
b, c를 계산하면
b
=
0.04887843032
{\displaystyle b=0.04887843032}
c
=
0.07982459539
=
−
a
log
e
{\displaystyle c=0.07982459539=-a\log e}
a
=
−
0.183802923
{\displaystyle a=-0.183802923}
∴
y
=
350000
1
+
e
−
0.183802923
−
0.04887843032
n
{\displaystyle \therefore y={\frac {350000}{1+e^{-0.183802923-0.04887843032n}}}}
2000년은 n = 7이므로 대입하면 219,988명이 됨을 예측할 수 있다.
지수곡선식법
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Peggy 함수식법이라고도 부른다.
P
n
=
P
0
+
A
n
a
{\displaystyle P_{n}=P_{0}+An^{a}}
log
(
P
n
−
P
0
)
=
log
A
+
a
log
n
{\displaystyle \log(P_{n}-P_{0})=\log A+a\log n}
Y
=
b
+
a
X
{\displaystyle Y=b+aX}
여기서 최소제곱법 을 이용해 a, b 계산한다.
a
=
n
Σ
X
Y
−
Σ
X
Σ
Y
n
Σ
X
2
−
Σ
X
Σ
X
{\displaystyle a={\frac {n\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}
b
=
Σ
X
2
Σ
Y
−
Σ
X
Σ
X
Y
n
Σ
X
2
−
Σ
X
Σ
X
{\displaystyle b={\frac {\Sigma X^{2}\Sigma Y-\Sigma X\Sigma XY}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}
위에서 사용한 같은 예시를 가지고 지수곡선식으로 인구예측을 해보자.
연도
인구(Pn )
1990
177800
1991
182500
1992
187000
1993
192300
1994
194500
1995
199200
1996
203700
1990년을 0으로 치환하고, 지수곡선식에 필요한 계산을 위해
P
n
−
P
0
{\displaystyle P_{n}-P_{0}}
연도(n)
Pn - P0
0
0
1
4700
2
9200
3
14500
4
16700
5
21400
6
25900
정규방정식은
a
∑
X
2
+
b
∑
X
=
∑
X
Y
{\displaystyle a\sum X^{2}+b\sum X=\sum XY}
a
∑
X
+
b
n
=
∑
Y
{\displaystyle a\sum X+bn=\sum Y}
미지수 계산을 위해,
∑
X
2
=
∑
(
log
n
)
2
=
1.774818419
{\displaystyle \sum X^{2}=\sum (\log n)^{2}=1.774818419}
∑
X
=
∑
log
n
=
2.857332496
{\displaystyle \sum X=\sum \log n=2.857332496}
∑
X
Y
=
∑
log
n
×
log
(
P
n
−
P
0
)
=
12.182
{\displaystyle \sum XY=\sum \log n\times \log(P_{n}-P_{0})=12.182}
∑
Y
=
∑
log
(
P
n
−
P
0
)
=
24.7636837
{\displaystyle \sum Y=\sum \log(P_{n}-P_{0})=24.7636837}
이것을 정규방정식에 대입하면 다음과 같은 연립 이차방정식이 된다. 두번째 식에서 n = 6이다. log 0은 정의되지 않으므로 제외하기 때문이다.
a
×
1.774818419
+
b
×
2.857332496
=
12.182
a
×
2.857332496
+
b
×
6
=
24.7636837
{\displaystyle {\begin{array}{lcr}a\times 1.774818419+b\times 2.857332496&=&12.182\\a\times 2.857332496+b\times 6&=&24.7636837\end{array}}}
따라서
a
=
0.9393697131
{\displaystyle a=0.9393697131}
b
=
3.679932016
=
log
A
{\displaystyle b=3.679932016=\log A}
A
=
4785.551739
{\displaystyle A=4785.551739}
∴
P
n
=
P
0
+
4785.551739
n
0.9393697131
{\displaystyle \therefore P_{n}=P_{0}+4785.551739n^{0.9393697131}}
P
2000
=
219
,
420
{\displaystyle P_{2000}=219,420}
감소 증가율법
비상관법(Ratio and Correlation method)
타 도시와의 비교법
계획 급수량의 종류
편집
계획 1일 평균 급수량
편집
정수 약품, 전력 사용량 산정, 유지관리비, 상수도 요금 산정, 저수지 설계 기준 수량에 필요한 급수량으로, 수도 재정 계획에 필요하다. 계획 1일 평균 급수량은 계획 1일 최대 급수량의 70-85%를 표준으로 한다.
계 획 1일 평 균 급 수 량
=
1년 간 총 급 수 량
365
=
(계 획 1일 최 대 급 수 량 )
×
{
0.70
(중 소 도 시 )
0.85
(
대 도 시 , 공 업 도 시
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{계 획 1일 평 균 급 수 량 }}&={\frac {\text{1년 간 총 급 수 량}}{365}}\\&={\text{(계 획 1일 최 대 급 수 량 )}}\times {\begin{cases}0.70&{\text{(중 소 도 시 )}}\\0.85&({\text{대 도 시 , 공 업 도 시 }})\end{cases}}\\\end{aligned}}}
생활 수준이 높고 공업도시일수록 1인 1일 평균급수량이 증가한다. 수도 요금을 정액제로 할 때가 종량제로 할 때보다 1인 1일 평균급수량이 커진다.[10]
계획 1일 최대 급수량
편집
상수도 시설 규모, 1일 계획 취수량 결정의 기준이 되는 급수량이다. 계획 1인 1일 최대 급수량에 첨두율인 1.5나 1.3을 곱하여 구한다.
계 획 1일 최 대 급 수 량
=
(
계 획 1인 1일 최 대 급 수 량
)
×
(
계 획 급 수 인 구
)
=
(
계 획 1인 1일 최 대 급 수 량
)
×
{
1.5
(중 소 도 시 )
1.3
(대 도 시 , 공 업 도 시 )
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{계 획 1일 최 대 급 수 량 }}&=({\text{계 획 1인 1일 최 대 급 수 량 }})\times ({\text{계 획 급 수 인 구 }})\\&=({\text{계 획 1인 1일 최 대 급 수 량 }})\times {\begin{cases}1.5&{\text{(중 소 도 시 )}}\\1.3&{\text{(대 도 시 , 공 업 도 시 )}}\end{cases}}\\\end{aligned}}}
계획 시간 최대 급수량
편집
1일 중 사용 수량이 최대가 될 때의 1시간 당 급수량이다. 배수본관의 설계 시 이용된다.
계 획 시 간 최 대 급 수 량
=
계 획 1일 최 대 급 수 량
24
×
{
2.0
(농 촌 , 주 택 단 지 , 소 도 시 )
1.5
(중 소 도 시 )
1.3
(대 도 시 , 공 업 도 시 )
{\displaystyle {\text{계 획 시 간 최 대 급 수 량 }}={\frac {\text{계 획 1일 최 대 급 수 량}}{24}}\times {\begin{cases}2.0&{\text{(농 촌 , 주 택 단 지 , 소 도 시 )}}\\1.5&{\text{(중 소 도 시 )}}\\1.3&{\text{(대 도 시 , 공 업 도 시 )}}\\\end{cases}}}
[14]
월 최대급수량
편집
1인 1일 평균급수량 X 30 X 1.25
1일 최소급수량
편집
1일 평균급수량 X 0.6
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum XY&=\sum n\log e[\log y-\log(K-y)]\\&=\log e\sum n[\log y-\log(K-y)]\\&=\log e\times 0.5943593605\\&=0.2581269905\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02e805254052521a41251f21ec04a167300c2df)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum Y&=\sum [\log y-\log(K-y)]\\&=0.5587721677\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448a0c6b45c8d3f725b0bd5d3dd457ccf766e31b)
