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붉은 점들을 기반으로 푸른 선의 2차 방정식 근사해를 구한다.

최소제곱법, 또는 최소자승법, 최소제곱근사법, 최소자승근사법(method of least squares, least squares approximation)은 어떤 계의 해방정식을 근사적으로 구하는 방법으로, 근사적으로 구하려는 해와 실제 해의 오차의 제곱의 합이 최소가 되는 해를 구하는 방법이다.

이 방법은 값을 정확하게 측정할 수 없는 경우에 유용하게 사용될 수 있으며, 특히 그 계의 방정식이 어떤 형태인지를 알고 있을 때 방정식의 상수 값들을 추정하는 데에 사용된다.

문제 정의편집

어떤 계에서  개의 입력값과 그에 대응하는 출력값  ( )가 있고, 이 계의 방정식이 변수   인 상수  에 대한 식  으로 주어질 때,

 

의 값을 최소로 만드는  를 구하는 것이 문제의 목표이다.

선형 최소제곱법편집

x에 대응하는 y의 자료들이 있다고 할 때, 여기에 맞는 일차방정식은 y = ax + b이다. 여기서 a, b의 값을 알기 위해선 다음의 '정규방정식(normal equation)'을 연립한다.

 

 

응용편집

상수도 시설의 규모를 결정할 때 해당 상수도를 이용하게 될 도시의 장래 인구수를 추정해야 한다. 여러 가지 추정법 중 하나가 최소제곱법을 이용한 방법이다. 장래 인구수는 과거의 인구 통계자료를 가지고 연도에 따른 인구수의 방정식을 먼저 구한 뒤, 이를 이용해 계산하여 구한다.

n개의 연도와 인구 수 자료가 있다고 하자.

연도 인구 수
x1 y1
x2 y2
xn yn

구하고자 하는 방정식은 y = ax + b이다. 상수 a, b값을 안다면, 장래의 연도 x를 대입했을 때 장래 인구 수 y를 알 수 있을 것이다. a, b는 다음으로 계산한다.

 

 

예를 들어 1990년부터 1996년까지 기록된 인구 자료가 다음과 같다고 하자.

연도 인구(Y)
1990 177800
1991 182500
1992 187000
1993 192300
1994 194500
1995 199200
1996 203700

계산의 편의를 위해 연도를 다음과 같이 치환한다.

연도(X) 인구(Y)
-3 177800
-2 182500
-1 187000
0 192300
1 194500
2 199200
3 203700

정규방정식에 필요한 값들을 계산하면

 

 

 

 

정규방정식에 이 값들을 대입하면 a, b를 알 수 있다.

 

 

 

93년도가 0년으로 되었으므로 2000년은 X = 7을 대입하여 계산한다. 따라서 2000년의 인구 수는 220,650명으로 예측할 수 있다.

참고 문헌편집

  • 이종형 외. 《상하수도 공학》 5판. 구미서관. 24쪽. 
  • Kharab, Guenther. 《이공학도를 위한 수치해석》 3판. 학산미디어. 

외부 링크편집