끈의 진동

끈의 진동은 파동의 한 형태이다. 일정하게 진동하는 끈은 소리를 만든다. 특정 음의 진동으로부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 기타, 피아노, 가야금등과 같은 현악기가 소리를 내는 근본적인 원리이다.

진동, 끈의 정상파, 배음렬중 기본적인 6가지의 배음

파동

끈에 의한 파동의 전파 속력($v$)는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력($T$)의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도($\mu$)의 제곱근에 반비례한다.

$v={\sqrt {T \over \mu }}.$

유도

끈의 한지점 x으로부터 작은 $\Delta x$의 간격을 잡고, $m$을 질량, $\mu$를 선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력이 $T$(상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 $x$와 $x$+$\Delta x$ 가해지는 장력은 아래와 같이 $T$로서 근사할 수 있다.

$T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.$

$T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.$

각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 $\alpha$와 $\beta$가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다.

$\Sigma F_{y}=T_{2y}-T_{1y}=T_{2}\sin(\beta )-T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

양변을 장력$T$으로 나누어 주고 처음에 구했던 $T$관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다.

${\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}-{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=\tan(\beta )-\tan(\alpha )$

각 양끝의 $a$와 $b$에 대한 탄젠트값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

여기서 처음에 $\Delta x$가 매우 작다고 가정하였음으로 0에 대하여 극한을 취하면 미분의 정의에 의해 $y$의 미분값의 미분 즉 $y$ 에 대한 이계미분이 된다.

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

이 식은$y(x,t)$에 대한 파동방정식과 일치한다. 파동방정식에서 시간에 대한 이계미분의 항은 $v^{-2}$와 같다 따라서,

$v={\sqrt {T \over \mu }},$

$v$는 끈에 의한 파동의 전파 속력이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰진폭의 경우에는, $\Delta x$ 은 좋은 근사식이 될 수 없다. 수평축의 장력은 상수$T$로서 일정할 필요가 없다.

같이 보기

• 현악기
• 음향학
• 원형 드럼의 진동

참고 문헌

• Java simulation of waves on a string
• Physics of a harpsichord string
• A study of chaotic motion in strings
• A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency
• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.

외부 링크

• Java simulation of waves on a string
• Physics of a harpsichord string
• A study of chaotic motion in strings
• A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency
• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project