끈의 진동
끈의 진동은 파동의 한 형태이다. 일정하게 진동하는 끈은 소리를 만든다. 특정 음의 진동으로부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 기타, 피아노, 가야금등과 같은 현악기가 소리를 내는 근본적인 원리이다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Harmonic_partials_on_strings.svg/250px-Harmonic_partials_on_strings.svg.png)
파동
편집끈에 의한 파동의 전파 속력( )는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력( )의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도( )의 제곱근에 반비례한다.
유도
편집끈의 한지점 x으로부터 작은 의 간격을 잡고, 을 질량, 를 선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력이 (상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 와 + 가해지는 장력은 아래와 같이 로서 근사할 수 있다.
각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 와 가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다.
양변을 장력 으로 나누어 주고 처음에 구했던 관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다.
각 양끝의 와 에 대한 탄젠트값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 처음에 가 매우 작다고 가정하였음으로 0에 대하여 극한을 취하면 미분의 정의에 의해 의 미분값의 미분 즉 에 대한 이계미분이 된다.
이 식은 에 대한 파동방정식과 일치한다. 파동방정식에서 시간에 대한 이계미분의 항은 와 같다 따라서,
는 끈에 의한 파동의 전파 속력이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰진폭의 경우에는, 은 좋은 근사식이 될 수 없다. 수평축의 장력은 상수 로서 일정할 필요가 없다.
같이 보기
편집참고 문헌
편집- Java simulation of waves on a string
- Physics of a harpsichord string
- A study of chaotic motion in strings
- A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신
- "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.
외부 링크
편집- Java simulation of waves on a string
- Physics of a harpsichord string
- A study of chaotic motion in strings
- A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신
- "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project