나머지

나머지(영어: remainder)는 산술에서 두 정수의 나눗셈 이후, 온전한 정수 몫으로 표현할 수 없이 남은 양을 가리킨다. 잉여(剩餘)라고도 한다.

선형 등식의 일반적인 형태는 $a=q\times d+r$ 로 표현할 수 있다. 이 등식에서 $q$ 는 몫이고 $r$ 은 나머지이다.

이 등식은 나머지를 구하기 위해 $r=a-q\times d$ 로도 표현할 수 있다. 그러나 $a$ 와 $d$ 는 자연수여야 하며 $d$ 는 $0$ 이 되어서는 안 된다. 몫은 $a$ 를 $d$ 로 나눈 정수의 결과물이다. 또, 나머지는 정수여야만 한다.

{a \over d}=q+{r \over d}

{13 \over 3}=4+{1 \over 3}={{12+1} \over 3}={13 \over 3}

연산

나머지 연산(modulo)은 $MOD$ 또는 $mod$ 로 표기한다.

MOD

는 기수법이나 컴퓨터 프로그래밍 언어에서 나머지연산을 나타내는 기호로 사용된다.

a{\bmod {b}}

라고 하면

a

를

b

로 나누었을 때의 나머지를 말한다.

피제수( $a$ ) 보다 제수( $b$ )가 더 크면 피제수( $a$ )가 나머지가 된다.

10{\bmod {3}}=1\;,\;9{\bmod {3}}=0\;,\;1{\bmod {3}}=1

Davenport, Harold (1999). 《The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers》. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 25쪽. ISBN 0-521-63446-6.
Zuckerman, Martin M. 《Arithmetic: A Straightforward Approach》. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.