다항식의 나머지 정리

비슷한 이름의 베주 정리에 관해서는 해당 문서를 참조하십시오.

나머지 정리는 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는 중국인의 나머지 정리 문서를 참고하십시오.

대수학에서 (다항식) 나머지 정리((多項式)-定理, 영어: (polynomial) remainder theorem) 또는 베주의 소정리(영어: Little Bézout's theorem, 프랑스의 수학자인 에티엔 베주에서 이름을 따옴)는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 $f(x)$를 1차 다항식 $x-a$로 나눈 나머지가 $f(a)$라는 내용이다.

나눗셈 정리의 따름정리이며 인수 정리를 특수한 경우로 포함한다. 후자에 따르면 $x-a$는 $f(a)=0$인 경우에만 $f(x)$의 배수이다. 여러 개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리를 반복적으로 적용하여 인수분해할 수 있다.

정의

 나눗셈 정리 § 나머지 정리 문서를 참고하십시오.

가환환 $R$ 및 다항식 $f\in R[x]$ 및 $a\in R$가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 $f(x)$를 다항식 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$이다.

더 일반적으로, 환 $R$ 및 다항식 $f\in R[x]$ 및 중심의 원소 $a\in \operatorname {Z} (R)$가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 $f(x)$를 다항식 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$이다.

증명

나눗셈 정리를 통한 증명:

$x-a$가 1차 일계수 다항식이므로, 다항식의 나눗셈 정리에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 $q\in R[x]$ 및 나머지 $r\in R$가 유일하게 존재한다.

$f(x)=(x-a)q(x)+r$

나머지 $r$가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 $r=0$이거나

$\deg r<\deg(x-a)=1$

이어야 하기 때문이다. 따라서

$f(a)=(a-a)q(a)+r=0q(a)+r=r$

이다.

테일러 전개를 통한 증명:

다음 등식을 $R[x]$ 위에서 보일 수 있다.

$f(x)=f(x-a+a)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(\max\{\deg f,0\})}(a)}{n!}}(x-a)^{\max\{\deg f,0\}}$

여기서

${\frac {f^{(i)}(x)}{i!}}=\sum _{k=i}^{\max\{\deg f,0\}}{\binom {k}{i}}a_{k}x^{k-i}\in R[x]$

는 $R$의 표수가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, $f$를 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$이다.

증명3:

$f(x)-f(a)$가 $x-a$의 배수임을 보이면 된다. $f(x)-f(a)$는

$x^{i}-a^{i}=(x-a)(x^{i-1}+x^{i-2}a+\cdots +xa^{i-2}+a^{i-1})$

꼴의 다항식들의 $R$-선형 결합이므로 $x-a$의 배수가 맞다.

예

다항식 $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$에서 $x-3$으로 나눈 몫과 나머지는 각각 $x^{2}-9x-27$과 $-123$이다. 따라서 $f(3)=-123$이다.

응용

나머지 정리에 따라, $f(a)$는 $f(x)$를 $x-a$로 나누는 조립제법을 통해 계산할 수 있다. 함수에의 대입은 직접 계산하는 것보다 조립제법을 사용하는 방법이 계산의 대가가 더 적다.

인수 정리는 나머지 정리에서 $f(a)=0$인 특수한 경우이다.