네즈빗의 부등식

네스빗의 부등식(Nesbitt's inequality, -不等式)은 다음과 같은 수학적 부등식을 말한다.^[1] 이 부등식은 셔피로의 부등식에서 n=3의 특수한 형태이다.

양의 실수 a, b, c에 대하여, ${\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}.$

증명

증명1} 네스빗의 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다.^[1] 이 부등식을 이용하여 먼저 다음을 얻는다.

(a+b+c)^{2}\leq ({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}})(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)).

그런데, 다음 식이 성립하므로,

0\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+b+c)^{2}-{\frac {3}{2}}(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)).

맨 위의 식에서 양 변에 $(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))$ 을 나누면 원하는 결과를 얻는다.

증명2} 재배열 부등식으로도 증명이 가능하다.

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{c+a}}+{\frac {a}{a+b}}$

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{c+a}}+{\frac {b}{a+b}}$

위 두식을 더하게 되면,

$2({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}})\geq 1+1+1=3$ 이 되므로, 정리하면,

${\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}$ 가 성립하게 된다.