일계수 다항식

대수학에서, 일계수 다항식(一係數多項式, 영어: monic polynomial 모닉 폴리노미얼[*])은 최고차 항의 계수가 1인 다항식이다. 이들의 집합은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 인자(因子) 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

정의편집

가환환   계수의 다항식환  의 원소

 

를 생각하자. 만약  이라면, 다항식  일계수 다항식이라고 한다.

예외적으로, 다항식  은 일계수 다항식으로 간주하지 않는다.

일계수 다항식들의 부분 집합 로 표기하자.

성질편집

곱셈에 대한 닫힘편집

유한 개의 일계수 다항식들의 곱은 일계수 다항식이다. 즉, 가환환   계수의 다항식환   속에서, 일계수 다항식들의 집합  은 곱셈에 대한 가환 모노이드를 이룬다.

반면, 일계수 다항식들은 일반적으로 덧셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

부분 순서편집

가환환  에 대하여,  는 다음과 같이 부분 순서 집합을 이룬다. 여기서  

 

가 되는 다항식  이 존재함을 뜻한다.

(반면, 일계수 다항식 조건을 생략한다면,  는 일반적으로 원순서 집합이지만 부분 순서 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 임의의 가역원  에 대하여  이지만  일 수 있다.)

외부 링크편집