중복집합

수학에서 중복집합(重複集合, 영어: multiset) 또는 다중집합(多重集合)은 각 원소를 어떤 기수만큼 중복하는 것을 허용하여 집합을 일반화한 개념이다. 중복집합의 원소가 중복된 횟수를 나타내는 기수를 중복도(重複度, 영어: multiplicity)라고 한다. 통상적인 집합은 각 원소의 중복도가 1인 중복집합으로 여길 수 있다. 집합의 연산들을 중복집합에 자연스럽게 확장할 수 있다.

정의

중복집합은 다음과 같은 데이터로 구성되는 순서쌍 $(M,\mu _{M})$이다.

• 집합 $M$. 그 원소를 중복집합의 원소라고 한다.
• 기수 값 함수 $\mu _{M}\colon M\to \operatorname {Card} \setminus \{0\}$. 각 $m\in M$에 대하여, $\mu _{M}(m)$을 $m$의 중복도라고 한다. ($M$에 속하지 않는 원소의 중복도는 0이라고 가정한다.)

중복집합 $M$의 크기는 모든 원소의 중복도의 합이다.

$|M|=\sum _{m\in M}\mu _{M}(m)$

여기서 우변은 기수의 덧셈이다.

연산

집합의 연산은 중복집합으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 예를 들어, 두 중복집합 $(M,\mu _{M})$, $(M',\mu _{M'})$의 합집합 $M\cup M'$과 교집합 $M\cap M'$은 다음과 같다.

$\mu _{M\cup M'}=\max\{\mu _{M},\mu _{M'}\}$

$\mu _{M\cap M'}=\min\{\mu _{M},\mu _{M'}\}$

예

중복집합

$(\{a,b,c\},(a\mapsto 3,b\mapsto 2,c\mapsto 4))$

는 흔히

$\{a,a,a,b,b,c,c,c,c\}$

로 표기한다. 그 크기는 3+2+4=9이다.

외부 링크

• “Multiset”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multiset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multichoose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Multiset”. 《nLab》 (영어). 
• “MultiSet”. 《nLab》 (영어). 
• “Inner product of multisets”. 《nLab》 (영어). 
• “Multiset”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Multiset”. 《ProofWiki》 (영어).