통계역학 에서, 단위 벡터 모형 (單位vector模形, 영어 : unit-vector model ) 또는 직교군 모형 (直交群模形, 영어 : O(n)-model ) 또는 크라트키-포로트 모형 (영어 : Kratky–Porod model )은 강자성 또는 중합체 의 모형이다. 이 경우, 서로 이웃한 스핀 (또는 단량체 ) 사이의 각이
θ
{\displaystyle \theta }
라면,
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
에 비례하는 퍼텐셜이 존재한다. 이는 자석의 경우 이웃하는 스핀 사이의 상호 작용을 나타내며, 중합체의 경우 중합체가 뻣뻣한 정도를 나타낸다.
유한 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 해밀토니언을 생각할 수 있다.
H
(
β
,
h
)
=
β
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
s
i
⋅
s
j
+
h
⋅
∑
i
∈
V
(
Γ
)
s
i
{\displaystyle H(\beta ,\mathbf {h} )=\beta \sum _{ij\in {\mathtt {E}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}+\mathbf {h} \cdot \sum _{i\in {\mathtt {V}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}}
여기서 각
s
i
∈
S
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {s} _{i}\in \mathbb {S} ^{n-1}}
는
n
{\displaystyle n}
차원 단위 벡터 이다.
이에 대한 분배 함수
Z
Γ
(
β
,
h
)
=
∫
(
S
n
−
1
)
V
(
Γ
)
d
s
exp
(
β
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
s
i
⋅
s
j
+
h
⋅
∑
i
∈
V
(
Γ
)
s
i
)
{\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,\mathbf {h} )=\int _{(\mathbb {S} ^{n-1})^{{\mathtt {V}}(\Gamma )}}\mathrm {d} s\,\exp \left(\beta \sum _{ij\in {\mathtt {E}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}+\mathbf {h} \cdot \sum _{i\in {\mathtt {V}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}\right)}
를
n
{\displaystyle n}
차원 단위 벡터 모형 이라고 한다.
물리학적 해석
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Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 길이
N
+
1
{\displaystyle N+1}
의 경로 그래프 이며,
h
=
0
{\displaystyle h=0}
이라고 하자. 이 경우, 분배 함수는 다음과 같은 꼴이 된다.
Z
N
=
Z
1
N
{\displaystyle Z_{N}=Z_{1}^{N}}
Z
1
=
vol
(
S
n
−
2
)
∫
0
π
(
sin
θ
)
n
−
2
d
θ
exp
(
−
β
cos
θ
)
{\displaystyle Z_{1}=\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-2})\int _{0}^{\pi }(\sin \theta )^{n-2}\mathrm {d} \theta \exp(-\beta \cos \theta )}
변수를
t
=
−
cos
θ
{\displaystyle t=-\cos \theta }
d
t
=
sin
θ
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} t=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta }
로 적으면
Z
1
=
vol
(
S
n
−
2
)
∫
−
1
1
d
t
(
1
−
t
2
)
(
n
−
3
)
/
2
exp
(
β
t
)
{\displaystyle Z_{1}=\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-2})\int _{-1}^{1}\mathrm {d} t\,(1-t^{2})^{(n-3)/2}\exp(\beta t)}
가 된다. 특히,
n
=
3
{\displaystyle n=3}
일 때 이는 단순히
Z
1
=
vol
(
S
n
−
2
)
∫
−
1
1
d
t
exp
(
β
t
)
=
4
π
sinh
β
β
{\displaystyle Z_{1}=\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-2})\int _{-1}^{1}\mathrm {d} t\,\exp(\beta t)=4\pi {\frac {\sinh \beta }{\beta }}}
이다.
특수한 경우
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1차원 단위 벡터 모형은 이징 모형 과 같다. 3차원 단위 벡터 모형은 보통 고전 하이젠베르크 모형 (영어 : classical Heisenberg model )이라고 하는데, 이는 이 모형이 SU(2) 하이젠베르크 스핀 사슬 의 고전적 극한이기 때문이다.
연속 극한
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연속 극한에서, 이 모형은 다음과 같은 꼴의 해밀토니언으로 나타내어진다.
H
=
∫
(
β
(
x
¨
(
t
)
)
2
+
h
⋅
x
˙
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle H=\int (\beta ({\ddot {x}}(t))^{2}+h\cdot {\dot {x}}(t))\,\mathrm {d} t}
여기서, 전체 길이
L
=
∫
x
˙
(
t
)
2
d
t
{\displaystyle L=\int {\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}
가 고정되게 된다.
참고 문헌
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↑ Kratky, Otto; Porod, Günther (1949). “Röntgenuntersuchung gelöster Fadenmoleküle”. 《Rec. Trav. Chim. Pays-Bas》 (독일어) 68 : 1106–1123.