진자

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진자(振子, pendulum)는 진동자의 준말로 고정된 한 축이나 점의 주위를 일정한 주기로 진동하는 추이다. 단진자는 실의 맨 끝에 추를 달아서 연직면 내에서 진동하게 만든 것이며, 중력에 의해 평형점을 중심으로 진동운동을 반복한다. 주로 진자 시계에 이용되었으며, 가속도계와 지진계 등의 과학 도구에 사용되고 있다.

수학적 설명

이상적인 진자의 운동은 다음 미분방정식의 형태로 표현된다.

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$

이때 이상적인 진자란, 다음의 전제를 포함한다.

• 줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다.
• 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.
• 운동은 2차원에서만 일어난다.
• 저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다.
• 균일한 중력장 속에서의 운동이다.
• 축은 움직이지 않는다.

방정식의 유도

진자에 작용하는 힘

오른쪽 그림과 같이 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 두 힘의 합력은 다음과 같이 나타난다.

$-mg\sin \theta$

한편, 미소 거리 $dx$는 미소 각 $d\theta$와 다음의 관계를 가진다.

$dx=ld\theta$

이때 $l$은 변하지 않기 때문에, 한 번 더 미분하면 다음 관계를 얻는다.

$d^{2}x=ld^{2}\theta$

따라서 뉴턴의 제 2법칙($F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$)에 의해,

$-mg\sin \theta =m{\frac {ld^{2}\theta }{dt^{2}}}$

정리하여 다음을 얻는다.

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$

진폭이 작은 진자의 운동

진자의 운동을 기술하는 식 ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$에서, 진폭, 즉 각이 작다면 $\sin \theta \approx \theta$로 어림이 가능하다. 따라서 다음 식을 얻게 된다.

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0$

위 식은 단순 조화 운동의 방정식이다. 이 방정식의 해는 다음 꼴로 나타난다. $\theta (t)=A\sin(\omega {}t-\phi )$

이때 각속도 $\omega ={\sqrt {g/l}}$ 이고, 진폭 $A$와 위상 $\phi$는 진자의 초기 위치와 속도에 의해 결정되는 값이다.

진동 주기

진폭이 작을 때, 진자의 진동 주기 $T$는 $2\pi /\omega$로 구해진다.

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

즉, 진자의 주기는 중력가속도 $g$와 줄의 길이 $l$에만 의존하고, 추의 무게와는 관련이 없다.

진폭이 클 때, 주기는 진폭에 따라 점차 증가한다. 실제 주기는 여러 형태로 표현될 수 있으며 아래는 한가지 예이다.

$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$

관련 문서

조화 진동자