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선형대수학에서, 대각화 가능 행렬(對角化可能行列, 영어: diagonalizable matrix)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다.

목차

정의편집

  위의   정사각 행렬  이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각화 가능 행렬이라고 한다.

  •  대각 행렬이 되는 가역 행렬  이 존재한다.

성질편집

연산에 대한 닫힘편집

  위의 정사각 행렬  이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수  에 대하여   역시 대각화 가능 행렬이다.

증명:

만약  에 대하여  대각 행렬이라고 하자. 그렇다면,

 

이다.

또한, 만약 추가로  대수적으로 닫힌 체이며  가역 행렬이라면, 임의의 정수  에 대하여   역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

필요 조건과 충분 조건편집

  위의   정사각 행렬  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  은 대각화 가능 행렬이다.
  •  고유 공간들의 차원들의 합이  이다.
  •  이 되는 최소차 일계수 다항식  의 차수가  라고 할 때,   개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

  위의   정사각 행렬  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

  • 고유 다항식   개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.

이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.

대각화 가능 행렬의 밀도편집

복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은  차원 아핀 공간  의 부분 공간을 이루며, 그 여집합영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

반면, 실수체 위에서, 만약  일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

편집

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

대각화 불가능 행렬편집

임의의 체  에서, 행렬

 

은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음과 같은 행렬을 생각하자.

 

 일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.

  •  에서  이 두 개의 제곱근을 갖는다.

즉, 만약  표수가 2가 아니며,  의 제곱근  가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값  을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약  에서  이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약  표수가 2일 경우,  은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

대각화의 예편집

임의의  에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자.

 

이는 세 개의 고윳값

 

을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.

각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다.

 

따라서,

 
 

를 정의하면,

 

이 된다.

참고 문헌편집

외부 링크편집