재규격화군

양자장론과 응집물질물리학에서 재규격화군(再規格化群, renormalization group, 약자 RG) 또는 되맞춤군은 주어진 계가 서로 다른 눈금에서 관측하였을 때 서로 다른 현상이 나타나는 정도를 나타내는 수학적 도구다.^[1]^:393 관찰하는 눈금이 달라지면서, 계의 각종 상수(결합 상수나 질량)가 유효적으로 변화한다. 이에 따라, 눈금에 따라 서로 다르게 보이는 유효 이론을 작성할 수 있다. 재규격화 변환은 가역변환이 아니므로 재규격화군은 수학적인 군이 아니라, 모노이드의 일종이다.^[1]^:401

전개

주행 결합 상수와 베타 함수

양자장론에서 유한한 관측 가능량을 계산하려면 이론을 재규격화하여야 하는데, 재규격화 방법은 임의의 에너지 눈금 $\mu$ 에 의존한다. 이를 재규격화 눈금(renormalization scale)이라고 한다. 관측 가능량의 값들은 재규격화 눈금에 의존하지 않지만, 결합 상수는 직접적인 관측 가능량이 아니므로 사용하는 재규격화 눈금 $\mu$ 에 따라 값이 바뀐다. 이 현상을 결합 상수의 주행(走行, 영어: running of the coupling constant)이라고 한다.

결합 상수 $g$ 의 주행은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.^[1]^:417

{\frac {\partial g(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{\mu }}\beta (g)

.

여기서 함수 $\beta (g)$ 를 결합 상수 $g$ 의 베타 함수(β函數, 영어: beta function)라고 한다. 즉, 결합 상수의 주행은 베타 함수를 통해 나타낼 수 있다. (이는 수학에서의 베타 함수과는 관계없는 값이다.)

마찬가지로, 일반적인 국소 연산자 $O(x)$ 의 재규격화 인자 $O_{0}(x)=Z_{O}(\mu )O(x;\mu )$ 도 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]^:430

\gamma (g)={\frac {\mu }{Z_{O}}}{\frac {\partial Z_{O}}{\partial \mu }}

.

여기서 함수 $\gamma (g)$ 를 비정상 차원(非正常次元, 영어: anomalous scaling dimension)이라고 한다.^[1]^:427

캘런-쥐만치크 방정식

상관 함수 또한 관측 가능량이 아니므로 재규격화 눈금에 의존한다. 이는 다음과 같은 캘런-쥐만치크 방정식(-方程式, 영어: Callan–Symanzik equation)으로 나타낼 수 있다.^[1]^:410^[2] 재규격화 눈금 $\mu$ 에서 $n$ 개의 입자가 결합 상수 $g$ 에 의존하여 상호 작용한다면, 이에 해당하는 상관 함수 $G^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n};\mu ,g)$ 은 다음과 같다.

\left({\frac {\partial }{\partial \ln \mu }}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n\gamma (g)\right)G^{(n)}=0

.

여기서 $\gamma (g)$ 는 장의 비정상 차원이다. 만약 상관 함수가 여러 종의 장들을 포함한다면, 각 종마다 서로 다른 비정상 차원을 사용한다.

\left({\frac {\partial }{\partial \ln \mu }}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n_{1}\gamma _{1}(g)+n_{2}\gamma _{2}(g)+\dotsb \right)G^{(n)}=0

.

마찬가지로, 상관 함수가 여러 개의 결합 상수에 의존한다면 각 결합 상수에 대한 베타 함수 항을 추가한다.

정확한 재규격화군 방정식

캘런-쥐만치크 방정식은 근사적이지만, 정확 재규격화군 방정식(exact renormalization group equation)도 존재한다.^[3]^[4]^[5] 대표적인 예로 윌슨 ERGE와 폴친스키 ERGE가 있다.

역사

1951년에 스위스의 수학자이자 이론 물리학자 에른스트 카를 게를라흐 스튀켈베르크(스위스 독일어: Ernst Carl Gerlach Stueckelberg)와 프랑스의 이론 물리학자 앙드레 페테르만(프랑스어: André Petermann)이 도입하였다.^[6]^[7]^[8]^[9]

1954년에 머리 겔만과 프랜시스 유진 로(영어: Francis Eugene Low)는 재규격화군을 양자 전기역학에 대하여 적용하였고, 이로부터 기본 전하의 재규격화를 유도하였다.^[10] 니콜라이 보골류보프(Никола́й Никола́евич Боголю́бов)와 드미트리 시르코프(Дми́трий Васи́льевич Ширко́в)는 1950년대에 "재규격화군"이라는 용어와 결합 상수의 주행을 나타내는 베타 함수를 도입하였다.^[8]^[11] (스튀켈베르크와 페테르만은 "규격화군"(normalization group)이라는 용어를 사용하였다.)

캘런-쉬만치크 방정식은 미국의 물리학자 커티스 캘런^[12]과 독일의 물리학자 쿠르트 쥐만치크^[13]^[14] 가 독자적으로 발견하였다.

리오 카다노프^[15]와 케네스 윌슨 등이 이를 개선하고 응집물질물리학에 대하여 응용하였다. 이 공로로 윌슨은 노벨 물리학상을 수상하였다.

같이 보기

각주

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참고 문헌

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통계역학에서의 응용

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외부 링크

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