등각 대칭

양자장론에서 등각 대칭(等角對稱, 영어: conformal symmetry)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다. 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론을 등각 장론이라 한다.

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정의

d차원 민코프스키 공간의 등각 대칭군은 $\operatorname {SO} (d,2)$이다. 이는 푸앵카레 군 $\operatorname {ISO} (d-1,1)$을 부분군으로 포함한다.

$\mu ,\nu ,\dots \in \{1,2,\dots ,d\}$라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.

기호	이름	성분 수	등각 차원
$M_{\mu \nu }$	회전 및 로런츠 변환	$d(d-1)/2$	0
$P_{\mu }$	병진 변환	$d$	+1
$D$	확대 변환	1	0
$K_{\mu }$	특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)	$d$	−1

이 가운데 $M$만 남기면 로런츠 군, $M$과 $P$만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.^:(4.19)

$[D,K^{\mu }]=-iK^{\mu }$

$[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }$

$[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })$

$[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })$

$[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })$

여기서 $\eta _{\mu \nu }$는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

방사 양자화(영어: radial quantization) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)

$D^{\dagger }=-D$

$(P_{\mu })^{\dagger }=K^{\mu }$

$(M_{\mu \nu })^{\dagger }=M^{\mu \nu }$

등각 대칭군이 $\operatorname {SO} (d,2)$임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.

$M_{-1,0}=D$

$M_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })$

$M_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })$

그렇다면, 지표 $M,N\in \{-1,0,1,\dots ,d\}$에 대하여 $M_{M,N}$은 $\operatorname {SO} (d,2)$의 표준적인 생성원을 이룬다.

$[M_{MN},M_{PQ}]=i(\eta _{MQ}J_{NP}+\eta _{NP}J_{AQ}-\eta _{MP}M_{NQ}-\eta _{NQ}J_{MP})$

$(M_{MN})^{\dagger }=M^{MN}$

여기서

$\eta _{-1,-1}=-1$

$\eta _{0,0}=1$

이다.

표현

등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.^{:98, (4.18)}

$M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })$

$P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }$

$D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }$

$K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })$

4차원의 경우, 등각 대칭군 $\operatorname {SO} (4,2)\sim \operatorname {SU} (2,2)$의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.

참고 문헌

• Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.