등각 대칭

양자장론에서 등각 대칭(等角對稱, 영어: conformal symmetry)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다.[1] 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론등각 장론이라 한다.

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Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
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정의편집

d차원 민코프스키 공간등각 대칭군 이다. 이는 푸앵카레 군  부분군으로 포함한다.

 라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.

기호 이름 성분 수 등각 차원
  회전 및 로런츠 변환   0
  병진 변환   +1
  확대 변환 1 0
  특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)   −1

이 가운데  만 남기면 로런츠 군,   만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.[1]:(4.19)

 
 
 
 
 
 

여기서  는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

방사 양자화(영어: radial quantization) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)

 
 
 

등각 대칭군이  임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.

 
 
 

그렇다면, 지표  에 대하여   의 표준적인 생성원을 이룬다.

 
 

여기서

 
 

이다.

표현편집

등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.[1]:98, (4.18)

 
 
 
 

4차원의 경우, 등각 대칭군  의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.[2][3]

참고 문헌편집

  1. Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 5월 7일에 확인함. 
  2. Mack, G. (1977). “All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 55 (1): 1–96. Bibcode:1977CMaPh..55....1M. doi:10.1007/BF01613145. MR 0447493. Zbl 0352.22012. 
  3. Knapp, A.W.; B. Speh (1982년 1월). “Irreducible unitary representations of SU(2, 2)”. 《Journal of Functional Analysis》 (영어) 45 (1): 41–73. doi:10.1016/0022-1236(82)90004-0. Zbl 0543.22011.