라그랑주 괄호

라그랑주 괄호(Lagrange bracket)는 조제프루이 라그랑주고전역학을 새롭게 공식화 하면서 도입한 개념으로, 푸아송 괄호와 가까이 관련되어 있다. 하지만, 푸아송 괄호와 달리 더이상 자주 사용되진 않는다.

정의편집

(q1, …, qn, p1, …, pn) 를 위상 공간정준좌표라 하자. 모든 정준좌표가 두 변수 u와 v로 표현 가능할 때, 라그랑주 괄호는 다음과 같이 정의한다.

 

성질편집

  • 라그랑주 괄호는 정준좌표 (qi, pi)의 변환에 영향을 받지 않는다. (Qi, Pi)를 새로운 정준좌표라 하면,
 
정준변환이 되고, 이 변환에 대해선 라그랑주 괄호는 불변량이 된다. 즉,
 
이다. 때문에, 아래첨자로 표시된 정준좌표는 자주 생략되기도 한다.
  • Ω를 2n차원의 위상 공간 W의 심플렉틱 형식이라 하고 u1,…,u2n이 W상의 의 좌표라고 하자. 이 때, 정준좌표 (qi, pi)는 좌표 u에 대한 함수로 나타낼 수 있고, 아래의 라그랑주 괄호로 정의된 행렬
 
Ω텐서로 취급할 때의 좌표 u로 기술된 성분을 의미한다. 이 행렬의 역행렬은 좌표 u위에서 다음과 같은 푸아송 괄호 {·,·}로 정의된 행렬을 의미하게 된다.
 
이를 수식으로 쓰면 다음과 같다.
 
여기서 δjk크로네커 델타이다.
  • 위의 성질에 대한 따름정리로 위상 공간의 좌표 (Q1, …, Qn, P1, …, Pn)이 정준좌표이면 좌표 사이의 라그랑주 괄호는
 
이 되며, 이 역 또한 참이다.

같이 보기편집

참고문헌편집

  • Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
  • Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277.

외부 링크편집