라그랑주 네 제곱수 정리

수론에서, 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 영어: Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다.[1]

정의편집

양의 정수  가 주어졌다고 하자. 라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수  이 존재한다.

 

사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉,  에 대하여,  는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어,  에 대하여,  는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다.

1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 (OEIS의 수열 A047701)

증명편집

사실  소수일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러 네 제곱수 항등식 때문이다.

 

또한,  일 경우는 자명하므로,  라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는   가 존재함을 보이자.

 

다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다.

 
 

여기서   에 대한 나머지이며,   에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의  에 대하여, 만약

 

라면,

 

이거나

 

이므로,  이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두  이며,  의 크기는  이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다.  인 이유는 다음과 같다.

 

이제  가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은  을 정의하고,  임을 보이면 충분하다.

 

귀류법을 사용하여,  이라고 가정하자. 다음을 만족시키는  이 존재한다.

 

만약  이 짝수라면, 편의상   가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다.

 

이는 모순이므로,  은 홀수이다. 다음과 같은  를 취하자.

 

그렇다면,

 
 

이므로, 다음을 만족시키는  이 존재한다.

 

만약  이라면,

 

이므로,

 

이다. 이는  에 모순이다. 따라서,  이며, 또한 다음이 성립한다.

 

마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다.

 
 
 
 

즉,  는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

이는 모순이다. 따라서,  이며,  는 4개의 제곱수의 합이다.

역사편집

디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스클로드 가스파르 바셰1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주1770년에 완전히 증명에 성공하였다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.

외부 링크편집