양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
라그랑주 네 제곱수 정리 에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수
x
,
y
,
z
,
w
∈
Z
+
∪
{
0
}
{\displaystyle x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}}
n
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
{\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}
사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉,
n
,
k
∈
Z
+
∪
{
0
}
{\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}}
4
n
(
8
k
+
7
)
{\displaystyle 4^{n}(8k+7)}
n
∈
Z
+
∪
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}}
2
2
n
+
1
{\displaystyle 2^{2n+1}}
1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 (OEIS 의 수열 A047701 )
사실
n
=
p
{\displaystyle n=p}
소수 일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러의 네 제곱수 항등식 때문이다.
(
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
)
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
+
w
′
2
)
=
(
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
+
w
w
′
)
2
+
(
x
y
′
−
y
x
′
−
z
w
′
+
w
z
′
)
2
+
(
x
z
′
+
y
w
′
−
z
x
′
−
w
y
′
)
2
+
(
x
w
′
−
y
z
′
+
z
y
′
−
w
x
′
)
2
∀
x
,
y
,
z
,
w
,
x
′
,
y
′
,
z
′
,
w
′
∈
Z
+
∪
{
0
}
{\displaystyle {\begin{aligned}(x^{2}+{}&y^{2}+z^{2}+w^{2})({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2})\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^{2}+(xy'-yx'-zw'+wz')^{2}\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^{2}+(xw'-yz'+zy'-wx')^{2}\qquad \forall x,y,z,w,x',y',z',w'\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\end{aligned}}}
또한,
p
=
2
{\displaystyle p=2}
p
>
2
{\displaystyle p>2}
k
∈
{
1
,
2
,
…
,
p
−
1
}
{\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,p-1\}}
x
,
y
∈
{
0
,
1
,
…
(
p
−
1
)
/
2
}
{\displaystyle x,y\in \{0,1,\dots (p-1)/2\}}
k
p
=
x
2
+
y
2
+
1
{\displaystyle kp=x^{2}+y^{2}+1}
다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다.
{
ϕ
p
(
x
2
)
:
x
∈
{
0
,
1
,
…
,
(
p
−
1
)
/
2
}
}
⊆
Z
/
(
p
)
{\displaystyle \{\phi _{p}(x^{2})\colon x\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)}
{
ϕ
p
(
−
y
2
−
1
)
:
y
∈
{
0
,
1
,
…
,
(
p
−
1
)
/
2
}
}
⊆
Z
/
(
p
)
{\displaystyle \{\phi _{p}(-y^{2}-1)\colon y\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)}
여기서
ϕ
p
(
−
)
{\displaystyle \phi _{p}(-)}
p
{\displaystyle p}
Z
/
(
p
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}
p
{\displaystyle p}
x
,
x
′
∈
{
0
,
1
,
…
,
(
p
−
1
)
/
2
}
{\displaystyle x,x'\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}}
x
2
≡
x
′
2
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{2}\equiv {x'}^{2}{\pmod {p}}}
라면,
x
≡
x
′
(
mod
p
)
{\displaystyle x\equiv x'{\pmod {p}}}
이거나
x
+
x
′
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle x+x'\equiv 0{\pmod {p}}}
이므로,
x
=
x
′
{\displaystyle x=x'}
(
p
+
1
)
/
2
{\displaystyle (p+1)/2}
Z
/
(
p
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}
p
{\displaystyle p}
k
<
p
{\displaystyle k<p}
k
p
=
x
2
+
y
2
+
1
<
p
2
/
2
+
1
<
p
2
{\displaystyle kp=x^{2}+y^{2}+1<p^{2}/2+1<p^{2}}
이제
p
{\displaystyle p}
m
{\displaystyle m}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
m
=
min
{
k
∈
Z
+
:
∃
x
,
y
,
z
,
w
∈
Z
+
∪
{
0
}
:
k
p
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
}
∈
Z
+
{\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \exists x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\colon kp=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\}\in \mathbb {Z} ^{+}}
귀류법을 사용하여,
m
>
1
{\displaystyle m>1}
x
,
y
,
z
,
w
∈
Z
+
∪
{
0
}
{\displaystyle x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}}
m
p
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
{\displaystyle mp=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}
만약
m
{\displaystyle m}
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
z
2
+
w
2
{\displaystyle z^{2}+w^{2}}
m
p
/
2
=
(
x
2
+
y
2
)
/
2
+
(
z
2
+
w
2
)
/
2
=
(
(
x
+
y
)
/
2
)
2
+
(
(
x
−
y
)
/
2
)
2
+
(
(
z
+
w
)
/
2
)
2
+
(
(
z
−
w
)
/
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}mp/2&=(x^{2}+y^{2})/2+(z^{2}+w^{2})/2\\&=((x+y)/2)^{2}+((x-y)/2)^{2}+((z+w)/2)^{2}+((z-w)/2)^{2}\end{aligned}}}
이는 모순이므로,
m
{\displaystyle m}
x
′
,
y
′
,
z
′
,
w
′
∈
{
−
(
m
−
1
)
/
2
,
…
,
(
m
−
1
)
/
2
}
{\displaystyle x',y',z',w'\in \{-(m-1)/2,\dots ,(m-1)/2\}}
x
≡
x
′
,
y
≡
y
′
,
z
≡
z
′
,
w
≡
w
′
(
mod
m
)
{\displaystyle x\equiv x',\;y\equiv y',\;z\equiv z',\;w\equiv w'{\pmod {m}}}
그렇다면,
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
+
w
′
2
≡
0
(
mod
m
)
{\displaystyle {x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}\equiv 0{\pmod {m}}}
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
+
w
′
2
<
m
2
{\displaystyle {x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}<m^{2}}
이므로, 다음을 만족시키는
0
≤
m
′
<
m
{\displaystyle 0\leq m'<m}
m
m
′
=
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
+
w
′
2
{\displaystyle mm'={x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}}
만약
m
′
=
0
{\displaystyle m'=0}
x
≡
y
≡
z
≡
w
≡
0
(
mod
m
)
{\displaystyle x\equiv y\equiv z\equiv w\equiv 0{\pmod {m}}}
이므로,
p
/
m
=
(
x
/
m
)
2
+
(
y
/
m
)
2
+
(
z
/
m
)
2
+
(
w
/
m
)
2
∈
Z
{\displaystyle p/m=(x/m)^{2}+(y/m)^{2}+(z/m)^{2}+(w/m)^{2}\in \mathbb {Z} }
이다. 이는
1
<
m
≤
k
<
p
{\displaystyle 1<m\leq k<p}
m
′
≥
1
{\displaystyle m'\geq 1}
m
2
m
′
p
=
(
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
)
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
+
w
′
2
)
=
(
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
+
w
w
′
)
2
+
(
x
y
′
−
y
x
′
−
z
w
′
+
w
z
′
)
2
+
(
x
z
′
+
y
w
′
−
z
x
′
−
w
y
′
)
2
+
(
x
w
′
−
y
z
′
+
z
y
′
−
w
x
′
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}m^{2}m'p=(x^{2}+{}&y^{2}+z^{2}+w^{2})({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2})\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^{2}+(xy'-yx'-zw'+wz')^{2}\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^{2}+(xw'-yz'+zy'-wx')^{2}\end{aligned}}}
마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다.
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
+
w
w
′
≡
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
≡
0
(
mod
m
)
{\displaystyle xx'+yy'+zz'+ww'\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\equiv 0{\pmod {m}}}
x
y
′
−
y
x
′
−
z
w
′
+
w
z
′
≡
x
y
−
y
x
−
z
w
+
w
z
≡
0
(
mod
m
)
{\displaystyle xy'-yx'-zw'+wz'\equiv xy-yx-zw+wz\equiv 0{\pmod {m}}}
x
z
′
+
y
w
′
−
z
x
′
−
w
y
′
≡
x
z
+
y
w
−
z
x
−
w
y
≡
0
(
mod
m
)
{\displaystyle xz'+yw'-zx'-wy'\equiv xz+yw-zx-wy\equiv 0{\pmod {m}}}
x
w
′
−
y
z
′
+
z
y
′
−
w
x
′
≡
x
w
−
y
z
+
z
y
−
w
x
≡
0
(
mod
m
)
{\displaystyle xw'-yz'+zy'-wx'\equiv xw-yz+zy-wx\equiv 0{\pmod {m}}}
즉,
m
′
p
{\displaystyle m'p}
m
′
p
=
(
(
x
x
′
+
y
y
′
+
z
z
′
+
w
w
′
)
/
m
)
2
+
(
(
x
y
′
−
y
x
′
−
z
w
′
+
w
z
′
)
/
m
)
2
+
(
(
x
z
′
+
y
w
′
−
z
x
′
−
w
y
′
)
/
m
)
2
+
(
(
x
w
′
−
y
z
′
+
z
y
′
−
w
x
′
)
/
m
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}m'p={}&((xx'+yy'+zz'+ww')/m)^{2}+((xy'-yx'-zw'+wz')/m)^{2}\\&+((xz'+yw'-zx'-wy')/m)^{2}+((xw'-yz'+zy'-wx')/m)^{2}\end{aligned}}}
이는 모순이다. 따라서,
m
=
1
{\displaystyle m=1}
p
{\displaystyle p}
