수치해석 에서 라그랑주 다항식 은 라그랑주 형식 에서 데이터 포인트의 주어진 집합으로부터 다항식을 보간하는 방법으로, 조제프루이 라그랑주 의 이름에서 왔다. 이것은 1779년 에드워드 웨어링 에 의해 처음으로 발견되었고, 1783년 에 레온하르트 오일러 에 의해 마지막으로 재발견되었다.
이 그림은 네개의 점((−9, 5) , (−4, 2) , (−1, −2) , (7, 9) )에 대하여 (입방체의) 보간 다항식 L (x ) (검정)을 보여준다. 이것은 크기가 변형 된 기초 다항식 (y0 L 0 (x ) , y1 L 1 (x ) , y2 L 2 (x ) 그리고 y3 L 3 (x ) )의 합이다. 보간 다항식은 4개의 모든 컨트롤 포인트를 지나고, 각각 크기가 변형된 기초 다항식은 그것들 각각의 컨트롤 포인트를 지나고 x 가 다른 세개의 컨트롤 포인트에 부합되는 곳에서 0이다.
k + 1 데이터 포인트의 주어진 집합
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
j
,
y
j
)
,
…
,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
여기서 x j 는 두 개의 같은 값이 존재하지 않고, 라그랑주 형식의 보간 다항식 은 선형 결합
L
(
x
)
:=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}
이다. 이것의 라그랑주 기초 다항식은 다음과 같다.
ℓ
j
(
x
)
:=
∏
f
=
0
,
f
≠
j
k
x
−
x
f
x
j
−
x
f
=
(
x
−
x
0
)
(
x
j
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
−
x
k
)
(
x
j
−
x
k
)
.
{\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
는 두 개의 같은 값이 존재하지 않기 때문에(그리고 존재할 수도 없다, 그렇지 않으면 데이터 집합의 의미가 모순된다),
x
j
−
x
f
≠
0
{\displaystyle x_{j}-x_{f}\neq 0}
.이 표현이 잘 정의 된다.
L (x )가 적절히 데이터를 보간 하기 위하여,
우리가 관찰하는 함수는 각 데이터 포인트 j 에 해당하는 k 보다 적거나 같은 차수의 다항식 L (x )이어야 한다.
L
(
x
j
)
=
y
j
j
=
0
,
…
,
k
{\displaystyle L(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\ldots ,k}
만약 이 문항이 모든 j 를 쥐고 있다면, 우리는 그 다항식이 보간 문제의 솔루션이라 말한다.
증명:
곱에서 k 항을 포함하고 있고 각 항마다 x 하나를 포함하고 있는
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle \ell _{j}(x)}
에서, L (x )(이것은 k 차 다항식의 합이다.)는 k 차 다항식이어야 한다.
ℓ
j
(
x
i
)
=
∏
f
=
0
,
f
≠
j
k
x
i
−
x
f
x
j
−
x
f
{\displaystyle \ell _{j}(x_{i})=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x_{i}-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}}
이 곱셈을 확장한다면 무엇이 일어날지를 보라. 곱이
f
=
j
{\displaystyle f=j}
을 스킵하기 때문에, 만약
i
=
j
{\displaystyle i=j}
라면 모든 항이
x
j
−
x
f
x
j
−
x
f
=
1
{\displaystyle {\frac {x_{j}-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}=1}
이다(
x
j
=
x
f
{\displaystyle x_{j}=x_{f}}
인 경우는 제외한다).
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