라그랑주 승수법

라그랑주 승수법(Lagrange乘數法, 영어: Lagrange multiplier method)은 제약이 있는 최적화 문제를 푸는 방법이다. 최적화하려 하는 값에 형식적인 라그랑주 승수(Lagrange乘數, 영어: Lagrange multiplier) 항을 더하여, 제약된 문제를 제약이 없는 문제로 바꾼다. 조제프루이 라그랑주가 도입하였다. 수학, 라그랑주 역학, 경제학, 운용 과학 등에 쓰인다.

정의편집

연속미분가능함수   를 생각하자.  인 제약 아래  를 최적화하는 문제를 생각하자. 이 문제는 라그랑주 승수법을 써 다음과 같이 풀 수 있다. 다음과 같은 함수  을 정의하자.

 

 정류점(stationary point)은 오일러-라그랑주 방정식을 통하여 찾을 수 있다. 그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

  • 만약   의 정류점이라면,   으로 제약한  의 정류점이다.
  • 만약   으로 제약한  의 정류점이라면,   의 정류점인  가 존재한다..

여기서 보조변수  라그랑주 승수(영어: Lagrange multiplier)라고 한다.

최적화 이론에서는 (국소적) 극점(extremum)을 찾는다. 극점은 정류점의 부분집합이므로, 정류점을 모두 찾아 극점인지 확인하면 된다. 반면, 라그랑주 역학에는 단순히 정류점만을 찾으면 되므로 이는 필요없다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

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