라이프니츠 대수

추상대수학에서 라이프니츠 대수(Leibniz代數, 영어: Leibniz algebra) 또는 로데 대수(Loday代數, 영어: Loday algebra)는 리 대수의 개념의 “비가환” 일반화이다. 즉, 일종의 야코비 항등식을 따르지만, 이항 연산이 반대칭일 필요가 없다. 대수적 K이론에 등장한다.

정의편집

가환환  가 주어졌다고 하자.   위의 왼쪽 라이프니츠 대수  는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  -가군  
  •  -가군 준동형  . 편의상  로 표기하자.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(야코비 항등식) 임의의  에 대하여,  

즉, 만약

 

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

 

마찬가지로, 오른쪽 라이프니츠 대수는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 
임의의  에 대하여,  

즉, 만약

 

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

 

이 두 개념은 사실상 동치이며, 이항 연산의 표기에서 두 항의 순서를 바꾼 것에 불과하다. 즉, 만약  가 왼쪽 라이프니츠 대수라면,

 

를 정의하면  은 오른쪽 라이프니츠 대수이다.

성질편집

임의의 가환환  에 대하여, 모든  -리 대수는 항상  -라이프니츠 대수이다. 반대로,  -라이프니츠 대수  리 대수가 될 필요충분조건

 

인 것이다.

역사편집

1965년에 알렉산드르 블로흐(러시아어: Алекса́ндр М. Блох)가 도입하였으며, 블로흐는 이를 “D-대수”(러시아어: D-алгебра)라고 불렀다.[1] 이 개념은 한동안 잊혀져 있다가, 1993년에 장루이 로데대수적 K이론을 연구하던 도중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 딴 “라이프니츠 대수”(프랑스어: algèbre de Leibniz)라는 용어를 도입하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Блох, Александр М. (1965). “Об одном обобщении понятия алгебры Ли”. 《Доклады академии наук Союза Советских Социалистических Республик》 (러시아어) 18 (3): 471–473. MR 193114. Zbl 0139.25702. 
  2. Loday, Jean-Louis (1993). “Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz”. 《L’Enseignement mathématique》 (프랑스어) 39 (3–4): 269–293. doi:10.5169/seals-60428. Zbl 0806.55009. 

외부 링크편집