라이프니츠 대수

추상대수학에서 라이프니츠 대수(Leibniz代數, 영어: Leibniz algebra) 또는 로데 대수(Loday代數, 영어: Loday algebra)는 리 대수의 개념의 “비가환” 일반화이다. 즉, 일종의 야코비 항등식을 따르지만, 이항 연산이 반대칭일 필요가 없다. 대수적 K이론에 등장한다.

정의

가환환 $K$가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 왼쪽 라이프니츠 대수 $(K,[-,-])$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $L$
• $K$-가군 준동형 $[-,-]\colon L\otimes _{K}L\to L$. 편의상 $[-,-]\colon a\otimes _{K}b\mapsto [a,b]$로 표기하자.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(야코비 항등식) 임의의 $a,b,c\in L$에 대하여, $[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]$

즉, 만약

$\operatorname {ad} _{x}y=[x,y]$

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

$[\operatorname {ad} _{a},\operatorname {ad} _{b}]c=\operatorname {ad} _{[a,b]}c$

마찬가지로, 오른쪽 라이프니츠 대수는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\operatorname {ad} _{x}y=[x,y]$

임의의 $a,b,c\in L$에 대하여, $[[a,b],c]=[a,[c,b]]+[[a,c],b]$

즉, 만약

$\operatorname {ad} _{x}y=[y,x]$

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

$[\operatorname {ad} _{a},\operatorname {ad} _{b}]c=\operatorname {ad} _{[a,b]}c$

이 두 개념은 사실상 동치이며, 이항 연산의 표기에서 두 항의 순서를 바꾼 것에 불과하다. 즉, 만약 $(A,[-,-])$가 왼쪽 라이프니츠 대수라면,

$[x,y]^{\operatorname {op} }=[y,x]$

를 정의하면 $(A,[-,-]^{\operatorname {op} })$은 오른쪽 라이프니츠 대수이다.

성질

임의의 가환환 $K$에 대하여, 모든 $K$-리 대수는 항상 $K$-라이프니츠 대수이다. 반대로, $K$-라이프니츠 대수 $L$이 리 대수가 될 필요충분조건은

$[a,a]=0\qquad \forall a\in L$

인 것이다.

역사

1965년에 알렉산드르 블로흐(러시아어: Алекса́ндр М. Блох)가 도입하였으며, 블로흐는 이를 “D-대수”(러시아어: D-алгебра)라고 불렀다. 이 개념은 한동안 잊혀져 있다가, 1993년에 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 도중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 딴 “라이프니츠 대수”(프랑스어: algèbre de Leibniz)라는 용어를 도입하였다.

외부 링크

• “Leibniz algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Leibniz algebra”. 《nLab》 (영어).