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수학에서, 연산(演算, 영어: operation)은 어떤 집합거듭제곱 집합에서 그 집합으로 가는 함수이다. 임의의 일정 개수의 원소들의 순서 있는 배열에 유일한 하나의 원소를 대응시킨다. 집합 속 원소들에 대한 연산 결과가 항상 집합 속에 머물러 있다는 사실은 그 집합의 한 가지 성질이며, 이 성질을 연산에 대한 닫힘(演算에對한닫힘, 영어: closure under an operation)이라고 한다.

목차

정의편집

집합  와 음이 아닌 정수  이 주어졌다고 하자.   위의  항 연산( 項演算, 영어: n-ary operation)은 다음과 같은 함수이다.

 

즉, 이는 임의의   위의   를 유일한  의 원소  에 대응시킨다. 특히,   위의 영항 연산(零項演算, 영어: 0-ary operation)은  의 원소  이다.   위의 일항 연산(一項演算, 영어: unary operation) 또는 단항 연산(單項演算)은   위의 함수  이다.   위의 이항 연산(二項演算, 영어: binary operation)은  의 두 원소로부터  의 한 원소를 얻는 함수  이다. 편의상 이항 연산을 덧셈 또는 곱셈이라고 하기도 한다. 이항 연산을 갖춘 집합을 마그마라고 한다.   위의 삼항 연산(三項演算, 영어: ternary operation)은  의 세 원소로부터  의 한 원소를 얻는 함수  이다.

넓은 의미에서,  항 연산은 다음과 같은 함수이다.

 

또한, 무한 순서수 항수를 허용하여 연산의 개념을 일반화할 수 있다. 이 경우, 원래의 항수가 유한한 연산을 유한항 연산(有限項演算, 영어: finitary operation)이라고 하며, 항수가 무한한 연산을 무한항 연산(無限項演算, 영어: infinitary operation)이라고 한다.

구체적으로, 집합  순서수  에 대하여,   위의  항 연산은 다음과 같은 함수이다.

 

넓은 의미에서,  항 연산은 다음과 같은 함수이다.

 

연산은 관계의 특수한 경우이다.

연산에 대한 닫힘편집

집합   및 그 위의  항 연산  가 주어졌다고 하자.  부분 집합  가 다음 조건을 만족시키면,   에 대하여 닫혀있다( 에對하여닫혀있다, 영어: closed under  )고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  

또한,   에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)   에 대하여 닫혀있는 최소 집합  이다. 즉, 이는 다음과 같다.

 

보다 일반적으로, 집합   및 그 위의 연산의 부분 집합  이 주어졌다고 하자.  가 다음 조건을 만족시키면,  에 대하여 닫혀있다( 에對하여닫혀있다, 영어: closed under  )고 한다.

  • 임의의  에 대하여,   에 대하여 닫혀있다.

또한,   에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)   에 대하여 닫혀있는 최소 집합  이다.

 

표기편집

연산의 표기법은 함수 표기법 이외에도 여러 가지가 있다. 자주 사용되는 표기법으로는 연산자를 피연산자의 앞에 배치하여 표기하는 전위 표기법(=폴란드 표기법), 연산자를 피연산자의 뒤에 배치하여 표기하는 후위 표기법(=역폴란드 표기법), 연산자를 두 피연산자의 사이에 표기하는 중위 표기법 따위가 있다.

일항 연산은 전위 표기법  (반수),  (부정) 또는 후위 표기법  (계승) 또는 함수 표기법  (사인) 등을 사용하여 표기할 수 있다. 연산자를 위 첨자 표기하는 방법  (전치 행렬)도 있다. 제곱근  의 경우, 연산자가 피연산자의 왼쪽과 위쪽에 걸쳐 위치한다.

이항 연산은 보통 함수 표기법   대신 중위 표기법  ,  를 사용하거나 연산자를 생략하는 방식  를 사용한다. 거듭제곱  의 경우, 연산자를 생략하되 두 번째 변수인 지수를 위 첨자 표기한다. 전위 표기법  ,  이나 후위 표기법  ,  을 사용하기도 한다.

연산편집

주어진 연산으로부터, 새로운 연산을 다음과 같이 유도할 수 있다.

제한편집

  위의  항 연산

 

은 그에 대하여 닫혀있는 부분 집합   위에 새로운  항 연산

 
 

을 유도한다. 이를   에서의 제한(制限, 영어: restriction)이라고 한다.

멱집합 위에 유도되는 연산편집

 항 연산

 

멱집합   위에 다음과 같은 연산을 유도한다.

 
 

즉, 이는 을 취하는 연산이다. 이를  에 의해 멱집합 위에 유도되는 연산이라고 한다.

점별 연산편집

 항 연산

 

은 함수 집합   위에 다음과 같은  항 연산을 유도한다.

 
 

이를  에 대한 점별 연산(點別演算, 영어: pointwise operation)이라고 한다.

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사칙 연산편집

실수 집합   위에 정의된 사칙 연산 가운데,

  • 덧셈  ,    위의 이항 연산이다.
  • 뺄셈  ,   역시   위의 이항 연산이다.
  • 곱셈  ,   역시   위의 이항 연산이다.
  • 그러나, 나눗셈  ,  은 이항 연산이 아니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이다. 다만, 나눗셈은 넓은 의미에서 이항 연산이다.

자연수 집합  이 사칙 연산에 대하여 닫혀있는지의 여부는 각각 다음과 같다.

  •   에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.
  •   에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어,  이지만,  이다. 사실,  이다. (여기서  정수 집합이다.)
  •   에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.
  •   에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어,  이지만,  이다. 사실,  이다. (여기서  유리수 집합이다.)

논리 연산편집

논리식의 논리합논리곱은 논리식 집합 위의 이항 연산이다. 논리식의 부정은 논리식 집합 위의 일항 연산이다.

군 위의 연산편집

  위에 정의된 연산들 가운데,

  • 항등원    위의 영항 연산이다.
  • 곱셈  ,    위의 이항 연산이다.

이들에 의해 멱집합에 유도되는 연산들은 각각 다음과 같다.

  • 자명군  
  • 임의의  에 대하여,  
    • 특히, 임의의  에 대하여,  

벡터 공간 위의 연산편집

  위의 벡터 공간  에 정의된 연산들 가운데,

  • 영벡터    위의 영항 연산이다.
  • 벡터 덧셈  ,    위의 이항 연산이다.
  • 그러나, 스칼라 곱셈  ,  은 이항 연산이 아니며, 넓은 의미의 이항 연산이다. 이를 일항 연산  ,   ( )의 집합으로 여길 수 있다.

이들은 각각 함수 집합   위에 점별 연산을 유도하며, 선형 변환 공간  은 이에 대하여 닫혀있다. 따라서   위에 다음과 같은 점별 연산들이 유도된다.

  • 영선형 변환  ,  
  • 임의의 선형 변환   및 벡터  에 대하여,  . 이를 점별 덧셈이라고 한다.
  • 임의의 선형 변환   및 벡터   및 스칼라  에 대하여,  . 이를 점별 스칼라 곱셈이라고 한다.

관계편집

 항 관계

 

은 다음과 같은 특수한  항 연산으로 여길 수 있다.

 
 

외부 링크편집