로그 적분 함수 (log積分函數, 영어 : logarithmic integral function )는 특수 함수 의 일종이다. 보통 정적분으로 정의되고
1
ln
x
{\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}
로그 적분 함수의 그래프
로그 적분 함수는 정적분 을 사용하여 다음과 같이 정의된다.(미국식 정의)
l
i
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
ln
t
{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\;}
혹은 다음과 같은 유럽식 정의를 쓰기도 한다.[ 1]
L
i
(
x
)
=
∫
2
x
d
t
ln
t
{\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\;}
여기서
ln
{\displaystyle {\ln }\;}
자연로그 를 의미한다.
로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계에 놓여있다.[ 2]
li
(
x
)
=
Ei
(
ln
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)}
이 식은 x > 0에서 성립한다. 이 식은 지수 적분 함수 의 급수 로
li
(
e
t
)
=
Ei
(
t
)
=
γ
+
ln
|
t
|
+
∑
k
=
1
∞
t
k
k
⋅
k
!
(
t
≠
0
)
{\displaystyle \operatorname {li} (e^{t})=\operatorname {Ei} (t)=\gamma +\ln |t|+\sum _{k=1}^{\infty }{t^{k} \over k\cdot k!}\qquad (t\neq 0)}
이므로
li
(
x
)
=
Ei
(
ln
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
∑
k
=
1
∞
(
ln
x
)
k
k
⋅
k
!
(
x
≠
1
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{(\ln x)^{k} \over k\cdot k!}\qquad (x\neq 1)}
로 표현할 수 있다.
라마누잔 이 만든 더 빠르게 수렴하는 급수로는
li
(
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
x
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
ln
x
)
n
n
!
2
n
−
1
∑
k
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
2
⌋
1
2
k
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}
이 있다.
여기서
γ
{\displaystyle \gamma }
오일러-마스케로니 상수 이다.
x → ∞에서의 li(x)의 행동은 다음과 같다.[ 2]
l
i
(
x
)
=
O
(
x
ln
x
)
{\displaystyle {\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;}
여기서
O
{\displaystyle O}
점근 표기법 을 의미한다.
로그 적분 함수는 다른 특수 함수인 지수 적분 함수 와 밀접한 연관이 있다.
가장 간단한 예로는
li
(
x
)
=
Ei
(
ln
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)}
d
d
x
li
−
1
(
x
)
=
Ei
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {li} ^{-1}(x)=\operatorname {Ei} ^{-1}(x)}
