뤼로스 상수

뤼로스상수 정의 편집

뤼로스 상수(Lueroth 또는 Lüroth constant) $c$

c=-\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln {\left(1-{{1} \over {k}}\right)}\;\;\;

\;\;\;=-\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln \left({{k-1} \over {k}}\right)\;\;\;

\;\;\;=-\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln \left({{k} \over {k-1}}\right)^{-1}\;\;\;

\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln \left({{k} \over {k-1}}\right)\;\;\;

\;\;\;=0.7885305659...(OEISA085361)

뤼로스 상수 c 에 대한 시리즈(급수)는 무한대에 대한 가수를 확장하여 훨씬 더 나은 수렴 속성을 가진 시리즈로 변환 될 수있다.^[1]^[2]

c=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln {{k} \over {k-1}}\;\;\;

\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over 1}k^{-2}+{1 \over 2}k^{-3}+{1 \over 3}k^{-4}+{1 \over 4}k^{-5}+\cdots

\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over 1}{{1} \over {k^{2}}}+{1 \over 2}{{1} \over {k^{3}}}+{1 \over 3}{{1} \over {k^{4}}}+{1 \over 4}{{1} \over {k^{5}}}+\cdots

\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {nk^{n+1}}}\;\;\;

\;\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{{1} \over {nk^{n+1}}}\;\;\;

\;\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }{{\zeta (n+1)-1} \over {n}}\;\;\;

\zeta

e^{c-1}=\lim _{n\to \infty }\alpha (n)=0.8093940205....(OEISA085291)

e

c

는 뤼로스 상수

\alpha (n)