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수학에서, 뤼카 다항식(영어: Lucas polynomials)은 에두아르 뤼카의 이름을 딴 다항식열이다. 피보나치 다항식점화식이 같다. 뤼카 수(영어: Lucas numbers, Lucas series)는 뤼카 다항식에 1을 대입하여 얻는 정수열이다. 피보나치 수와 점화식이 같다.

정의편집

제2종 뤼카 수열 로 쓰자.

뤼카 다항식편집

뤼카 다항식   와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

 
 
 

뤼카 수편집

뤼카 수   와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

 
 
 

처음 몇 뤼카 수는 다음과 같다.

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ... (OEIS의 수열 A000032)

위 점화식을 음수  에게도 적용하여 뤼카 수를 확장할 수 있다. 이 경우 0번째, -1번째, ... 뤼카 수는 다음과 같다.

1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ... (OEIS의 수열 A061084)

성질편집

일반항편집

뤼카 다항식의 일반항은 다음과 같다.

 

여기서  바닥 함수이다. 특히 뤼카 수의 일반항은 다음과 같다.

 

여기서  황금비이다.

항등식편집

다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

생성 함수편집

뤼카 다항식의 생성 함수는 다음과 같다.

 

특히 뤼카 수의 생성 함수는 다음과 같다.

 

뤼카 소수편집

뤼카 소수(영어: prime Lucas numbers)는 다음과 같다.

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (OEIS의 수열 A000032)

뤼카 소수의 첨수는 다음과 같다.

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ... (OEIS의 수열 A001606)

뤼카 소수의 첨수는 항상 0이거나 소수이거나 2의 거듭제곱이다. 뤼카 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.[1]

역사편집

프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 땄다.

같이 보기편집

각주편집

  1. “The Prime Glossary: Lucas prime”. 《The Prime Pages》. 

외부 링크편집