수학 에서 마든 정리 (영어 : Marden's theorem )는 복소수 3차 다항식 의 두 임계점 이 세 영점 이 이루는 삼각형 에 세 변의 중점 에서 내접 하는 타원 의 초점 이라는 정리이다.
삼각형과 그 슈타이너 내접 타원 . 검은색 점은 3차 다항식 p (z )의 영점, 빨간 점은 도함수 p '(z )의 영점, 가운데 연두색 점은 이계 도함수 p ''(z )의 영점, 나머지 세 연두색 점은 삼각형의 변의 중점을 나타낸다. 마든 정리에 따르면, 빨간 점은 연두색 타원의 두 초점이다.
주어진 삼각형의 세 변의 중점을 지나는 내접 타원은 항상 유일하게 존재한다. 이를 삼각형의 슈타이너 내접 타원 이라고 한다.
복소수 3차 다항식
p
(
z
)
∈
C
[
z
]
{\displaystyle p(z)\in \mathbb {C} [z]}
의 영점을
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
, 임계점을
f
,
f
′
{\displaystyle f,f'}
라고 하자. 또한,
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
가 공선점이 아니라고 하자. 그렇다면,
f
,
f
′
{\displaystyle f,f'}
는
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점이다. 이를 마든 정리 라고 한다.
편의상
p
(
z
)
{\displaystyle p(z)}
가 일계수 다항식 이며,
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
이라고 하자.[1] 그렇다면,
f
+
f
′
=
0
{\displaystyle f+f'=0}
이며,
p
(
z
)
{\displaystyle p(z)}
와 도함수
p
′
(
z
)
{\displaystyle p'(z)}
는 다음과 같다.
p
(
z
)
=
(
z
−
a
)
(
z
−
b
)
(
z
−
c
)
{\displaystyle p(z)=(z-a)(z-b)(z-c)}
p
′
(
z
)
=
3
(
z
+
f
)
(
z
−
f
)
=
(
z
−
a
)
(
z
−
b
)
+
(
2
z
−
(
a
+
b
)
)
(
z
−
c
)
{\displaystyle p'(z)=3(z+f)(z-f)=(z-a)(z-b)+(2z-(a+b))(z-c)}
한 변의 중점
z
′
=
(
a
+
b
)
/
2
{\displaystyle z'=(a+b)/2}
와 두 초점
−
f
,
f
{\displaystyle -f,f}
사이의 거리의 합
|
z
′
+
f
|
+
|
z
′
−
f
|
{\displaystyle |z'+f|+|z'-f|}
을 생각하자. 이를 평행사변형 법칙 을 사용하여 구하면 다음과 같다.
2
(
|
z
′
+
f
|
+
|
z
′
−
f
|
)
2
{\displaystyle 2(|z'+f|+|z'-f|)^{2}}
=
2
|
z
′
+
f
|
2
+
2
|
z
′
−
f
|
2
+
4
|
(
z
′
+
f
)
(
z
′
−
f
)
|
{\displaystyle =2|z'+f|^{2}+2|z'-f|^{2}+4|(z'+f)(z'-f)|}
=
4
|
z
′
|
2
+
4
|
f
|
2
+
1
3
|
a
−
b
|
2
{\displaystyle =4|z'|^{2}+4|f|^{2}+{\frac {1}{3}}|a-b|^{2}}
(평행사변형 법칙 및
p
′
(
z
′
)
=
−
(
(
a
−
b
)
/
2
)
2
{\displaystyle p'(z')=-((a-b)/2)^{2}}
)
=
|
a
+
b
|
2
+
4
|
f
|
2
+
1
3
|
a
−
b
|
2
{\displaystyle =|a+b|^{2}+4|f|^{2}+{\frac {1}{3}}|a-b|^{2}}
=
2
3
|
a
+
b
|
2
+
2
3
(
|
a
|
2
+
|
b
|
2
)
+
4
|
f
|
2
{\displaystyle ={\frac {2}{3}}|a+b|^{2}+{\frac {2}{3}}(|a|^{2}+|b|^{2})+4|f|^{2}}
(평행사변형 법칙)
=
2
3
(
|
a
|
2
+
|
b
|
2
+
|
c
|
2
)
+
4
|
f
|
2
{\displaystyle ={\frac {2}{3}}(|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2})+4|f|^{2}}
(
a
+
b
=
−
c
{\displaystyle a+b=-c}
)
즉, 변의 중점과
−
f
,
f
{\displaystyle -f,f}
사이의 거리의 합은 변의 선택과 무관하다. 따라서,
−
f
,
f
{\displaystyle -f,f}
는
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점이다.
이외르크 지베크(독일어 : Jörg Siebeck )가 증명하였다. 모리스 마든(영어 : Morris Marden )의 이름을 따 명명되었다.