만델스탐 변수

산란 이론에서, 만델스탐 변수(영어: Mandelstam variable)는 두 입자가 산란하여 튕겨나오는 과정에서, 각 입자의 초기 4차원 운동량과 나중 4차원 운동량의 관계를 나타내는 세 변수 s, t, u다. 단위는 에너지의 제곱. 남아공의 물리학자 스탠리 만델스탐(Stanley Mandelstam)이 도입하였다.[1]

정의 편집

+−−− 계량 부호수를 사용하자. 사차원 운동량이 각각   인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각   사차원 운동량을 가지게 된다고 하자. 그렇다면 만델스탐 변수  ,  ,  는 다음과 같다.

 
 
 .

여기서 s무게중심 기준틀에서 관측한 에너지의 제곱과 같다. t는 한 입자에서 다른 입자로 옮겨간 운동량의 정도(의 제곱)으로 해석할 수 있다.

세 만델스탐 변수들은 서로 독립적이지 않으며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

 

여기서  는 각 입자의 제곱 불변 질량이다.

만약 산란 뒤 입자가 산란 이전 입자와 다를 경우, 서로 유사한 입자의 운동량을    (또는   )로 간주한다. 예를 들어,

e++e   μ+

와 같은 경우, 전자 (e)와 뮤온)이 서로 유사하므로 이들을 각각   로 간주한다.

파인먼 도형의 모양 편집

이 세 변수에 비례하는 산란 진폭 성분을 나타내는 파인먼 도형은 다음과 같이 특정한 모양을 지닌다. 이런 모양의 파인먼 도형에 해당하는 산란 진폭 성분을 s 채널 · t 채널 · u 채널로 부른다.

     
  채널   채널   채널

임의의 차원에서의 만델스탐 변수 편집

일반적으로,  차원에서  개의 입자의 산란을 생각하자. 초기 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 양수로, 최종 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 음수로 놓자. 운동량들을  이라고 놓자. 그렇다면, 다음과 같은 만델스탐 변수  는 다음과 같다.

 

즉, 총  개의 변수들이 존재한다. 이들 사이에는 다음과 같은 일련의 상관관계가 존재한다.

 

4차원에서는

 
 
 

이므로, 이 상관관계는 4차원에서의 상관관계

 

의 일반화이다.

독립 만델스탐 변수들의 수 편집

편의상

 

로 정의하자. 운동량들 사이에는 다음과 같은 조건들이 존재한다.

  • (질량껍질 조건)  
  • (운동량 보존 법칙)  

또한, 로런츠 변환을 통해

 

개의 추가 제약을 가할 수 있으나, 이들 가운데

 

개는 자명하게 작용한다. 따라서, 독립적인 만델스탐 변수의 개수는

 

이다.

다양한 차원에서 독립 만델스탐 변수들의 수
입자 수 N D = 2 D = 3 D = 4 D = 5 D = 6
3 0 0 0 0 0
4 1 2 2 2 2
5 2 4 5 5 5
6 3 6 8 9 9

2차원 만델스탐 변수 편집

2차원에서는 2→2 산란 과정에서 오직 하나만의 독립적 만델스탐 변수가 존재하며, 이는 신속도로 쓸 수 있다.

네 입자의 신속도를 각각  ,  ,  ,  로 쓰자. 그렇다면 각 입자의 2차원 운동량은

 

이다.

편의상 모든 입자의 질량이  으로 놓고, 로런츠 변환을 가해

 
 

으로 놓자. 그렇다면 운동량 보존에 따라서

 

임을 알 수 있다.

 

로 놓자. 그렇다면

 
 
 

이 된다 (복호 동순).

각주 편집

  1. Mandelstam, Stanley (1958). “Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity. General Theory” (PDF). 《Physical Review》 112 (4): 1344–1360. Bibcode:1958PhRv..112.1344M. doi:10.1103/PhysRev.112.1344. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 10월 5일에 확인함.