말러의 부등식 (독일어 : Mahler-Ungleichung , Mahler's inequality, -不等式)은 부등식 의 일종으로, 독일 수학자 쿠르트 말러 (Kurt Mahler)가 제시하여 그의 이름이 붙어 있다. 민코프스키 부등식 의 대수적 형태를 곱 형태로 변형시킨 것이라 볼 수 있는 부등식으로, 2n개의 양수
x
1
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}
y
1
,
.
.
.
,
y
n
{\displaystyle y_{1},...,y_{n}}
∏
k
=
1
n
(
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≥
∏
k
=
1
n
x
k
1
/
n
+
∏
k
=
1
n
y
k
1
/
n
.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{1/n}\geq \prod _{k=1}^{n}x_{k}^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}y_{k}^{1/n}.}
증명은 간단하게 할 수 있다. 먼저 산술-기하 평균 부등식 에 따라서 다음 두 식을 얻고,
∏
k
=
1
n
(
x
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≤
1
n
∑
k
=
1
n
x
k
x
k
+
y
k
.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{x_{k} \over x_{k}+y_{k}}.}
∏
k
=
1
n
(
y
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≤
1
n
∑
k
=
1
n
y
k
x
k
+
y
k
.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{y_{k} \over x_{k}+y_{k}}.}
이 두 식을 더하여 다음 식을 얻는다.
∏
k
=
1
n
(
x
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
+
∏
k
=
1
n
(
y
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≤
1
n
n
=
1.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}n=1.}
이제 양 변에
∏
k
=
1
n
(
x
k
+
y
k
)
1
/
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{1/n}}
같이 보기
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외부 링크
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