매끄러운 함수
해석학에서 매끄러운 함수(영어: smooth function)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. 함수로 표기하기도 한다.
함수의 미분가능성 계층
편집어떤 함수가 번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 함수라고 부른다. 예를 들어, 는 연속인 함수를 의미하며, 는 연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수가 연속 함수인 함수를 의미한다.
함수가 무한 번 미분가능할 경우 로 표기하며, 해석 함수일 경우는 로 표기한다.
집합은 집합을 진부분집합으로 가지며, 에 속하지 않는 함수가 존재한다. 마찬가지로 는 를 진부분집합으로, 는 를 진부분집합으로 가진다.
예
편집가 가 0 이상일 때 , 0보다 작을 때 일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 이지만 은 아니다.
인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.
성질
편집유클리드 공간의 열린 집합 에 대하여, 가 위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.
이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간 및 다중 지표 에 대하여,
따라서, 이 반노름들을 사용하여 위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.
외부 링크
편집- “Smooth function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Smooth function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “C^infty function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.