주 메뉴 열기

해석학에서, 매끄러운 함수(영어: smooth function)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석함수가 된다.

함수의 미분가능성 계층편집

어떤 함수가  번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를   함수라고 부른다. 예를 들어,  는 연속인 함수를 의미하며,  연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수연속 함수인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우  로 표기하며, 해석함수일 경우는  로 표기한다.

  집합은   집합을 진부분집합으로 가지며,  에 속하지 않는   함수가 존재한다. 마찬가지로   를 진부분집합으로,   를 진부분집합으로 가진다.

편집

 
 이면  ,  이면  .  이지만  은 아닌 함수

 가 x가 0 이상일 때  , 0보다 작을 때  일 경우, 이 함수는 연속함수이지만  에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는  이지만  은 아니다.

 
매끄럽지만 해석적이지는 않은 함수
 

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만  일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

성질편집

유클리드 공간의 열린 집합  에 대하여,    위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간  다중 지표  에 대하여,

 

따라서, 이 반노름들을 사용하여   위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

외부 링크편집