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선형대수학 및 함수해석학 에서 노름 공간 (norm空間, 영어 : normed space )은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간 이다. 이러한 크기는 노름 (영어 : norm 놈[* ] )이라고 하며, 삼각 부등식 을 따라 거리 함수 를 정의한다.
노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건 을 생략하면 반노름 공간 (半norm空間, 영어 : seminormed space )의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름 (半norm, 영어 : seminorm )이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.
삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다.
‖
x
+
y
‖
≤
K
(
‖
x
‖
+
‖
y
‖
)
{\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
가 실수체 또는 복소수체 라고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
V
{\displaystyle V}
위의 반노름 은 다음 두 조건들을 만족하는 함수
‖
⋅
‖
:
V
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty )}
‖
⋅
‖
:
v
↦
‖
v
‖
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert }
이다.[ 1] :25, §1.33
(양의 동차성) 임의의
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
및
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
에 대하여,
‖
a
v
‖
=
|
a
|
‖
v
‖
{\displaystyle \Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert }
(삼각 부등식 ) 임의의
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
에 대하여,
‖
u
+
v
‖
≤
‖
u
‖
+
‖
v
‖
{\displaystyle \Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert }
반노름이 주어진
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
(
V
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}
을
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-반노름 공간 이라고 한다.
V
{\displaystyle V}
위의 노름 은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름
‖
⋅
‖
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert }
이다.[ 1] :3–4, §1.2
(양의 정부호성) 모든
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
에 대하여,
‖
v
‖
=
0
{\displaystyle \Vert v\Vert =0}
임은
v
=
0
{\displaystyle v=0}
임과 동치 이다.
노름이 주어진
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
(
V
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}
을
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간 이라고 한다.[ 1] :3–4, §1.2
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
V
{\displaystyle V}
의 부분 집합
S
⊆
V
{\displaystyle S\subseteq V}
의 민코프스키 범함수 (영어 : Minkowski functional )는 다음과 같다.
μ
S
:
V
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu _{S}\colon V\to [0,\infty ]}
μ
S
(
v
)
=
inf
{
t
∈
R
+
:
v
∈
t
S
}
{\displaystyle \mu _{S}(v)=\inf\{t\in \mathbb {R} ^{+}\colon v\in tS\}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-벡터 공간
V
{\displaystyle V}
위의 반노름 은 다음 조건을 만족시키는 함수
‖
⋅
‖
:
V
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty ]}
‖
⋅
‖
:
v
↦
‖
v
‖
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert }
이다.
(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치 이다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족
(
V
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (V_{i})_{i\in I}}
과 실수
1
≤
p
<
∞
{\displaystyle 1\leq p<\infty }
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합
V
=
⨁
i
V
i
{\displaystyle V=\bigoplus _{i}V_{i}}
에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
‖
(
v
i
)
i
∈
I
‖
p
=
‖
v
i
‖
V
i
p
p
{\displaystyle \|(v_{i})_{i\in I}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}}
그렇다면,
(
V
,
‖
⋅
‖
p
)
{\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert _{p})}
역시 노름 공간을 이룬다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
V
{\displaystyle V}
의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-부분 벡터 공간
W
⊆
V
{\displaystyle W\subseteq V}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
W
{\displaystyle W}
에
V
{\displaystyle V}
의 노름을 제한한 것을 부여하면,
W
{\displaystyle W}
역시
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간을 이룬다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
V
{\displaystyle V}
의 닫힌
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-부분 벡터 공간
W
⊆
V
{\displaystyle W\subseteq V}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간
V
/
W
{\displaystyle V/W}
위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
‖
v
+
W
‖
V
/
W
=
inf
w
∈
W
‖
v
+
w
‖
V
{\displaystyle \|v+W\|_{V/W}=\inf _{w\in W}\|v+w\|_{V}}
그렇다면
V
/
W
{\displaystyle V/W}
역시
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간을 이룬다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
의 연속 쌍대 공간
V
′
{\displaystyle V'}
위에는 쌍대 노름
‖
f
‖
V
′
=
sup
v
∈
V
∖
{
0
}
|
f
(
v
)
|
‖
v
‖
V
{\displaystyle \|f\|_{V'}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|f(v)|}{\|v\|_{V}}}}
을 부여할 수 있으며, 이에 따라
V
′
{\displaystyle V'}
역시
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간을 이룬다.
임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-반노름 공간
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
에 대하여, 다음과 같은
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-부분 벡터 공간을 정의하자.
N
=
{
v
∈
V
:
‖
v
‖
=
0
}
{\displaystyle N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}}
그렇다면, 몫공간
V
/
N
{\displaystyle V/N}
위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간 의 정의에 등장한다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
의 (거리 공간 으로서의) 완비화
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
‖
v
¯
‖
V
¯
=
lim
i
→
∞
‖
v
i
‖
V
(
v
¯
∈
V
)
{\displaystyle \|{\bar {v}}\|_{\bar {V}}=\lim _{i\to \infty }\|v_{i}\|_{V}\qquad ({\bar {v}}\in V)}
여기서
(
v
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
는
v
¯
{\displaystyle {\bar {v}}}
로 수렴하는 코시 열 이다. 이를 부여하면
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 을 이룬다.
이 경우, 자연스러운 단사
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 등거리 변환
V
↪
V
¯
{\displaystyle V\hookrightarrow {\bar {V}}}
가 존재하여,
V
{\displaystyle V}
를
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약
V
{\displaystyle V}
가 이미
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 이라면, 위 함수는 전단사 함수 이다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-반노름 공간
V
{\displaystyle V}
위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간 으로 만들 수 있다.
d
(
u
,
v
)
=
‖
u
−
v
‖
=
‖
v
−
u
‖
(
u
,
v
∈
V
)
{\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad (u,v\in V)}
만약
V
{\displaystyle V}
가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간 을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여,
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-반노름 공간은 항상
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-위상 벡터 공간 을 이룬다.
두
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-반노름 공간 사이의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환 의 경우, 유계 작용소 인 것과 연속 함수 인 것이 서로 동치 이다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
⇐
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-내적 공간
⇑
⇑
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
⇐
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-힐베르트 공간
즉,
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
가 주어졌을 때,
만약
(
u
,
v
)
↦
(
‖
u
+
v
‖
−
‖
u
−
v
‖
)
/
2
{\displaystyle (u,v)\mapsto (\|u+v\|-\|u-v\|)/2}
가
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-쌍선형 형식 을 이루면,
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-내적 공간 을 이룬다.
만약 완비 거리 공간 이라면,
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 을 이룬다.
만약
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
가
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-내적 공간 이자
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 이라면,
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\|\|)}
를
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-힐베르트 공간 이라고 한다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-위상 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
V
{\displaystyle V}
를 반노름화 가능 공간 (영어 : seminormable space )이라고 한다.[ 2] :30, Theorem 1.39
V
{\displaystyle V}
의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
국소 볼록 공간 이자 국소 유계 공간 이다. 즉,
0
∈
V
{\displaystyle 0\in V}
가 볼록 유계 근방 을 갖는다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-위상 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
V
{\displaystyle V}
를 노름화 가능 공간 이라고 한다.[ 2] :30, Theorem 1.39
V
{\displaystyle V}
의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간 이다.
모든 벡터 공간에서 자명 반노름 (영어 : trivial seminorm )
‖
v
‖
=
0
{\displaystyle \Vert v\Vert =0}
은 반노름을 이루지만, 이는 (
V
{\displaystyle V}
가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.
체
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값
‖
a
‖
=
|
a
|
{\displaystyle \Vert a\Vert =|a|}
은 노름을 이룬다.
서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원 .
임의의
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
에 대하여, 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
위에 다음과 같은 노름
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{p}}
을 정의할 수 있으며, 이를 Lp 노름 이라고 한다.
‖
x
‖
p
=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}
여기서
p
=
2
{\displaystyle p=2}
인 경우는 표준적인 유클리드 노름
‖
x
‖
2
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
{\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
이다. 만약
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
일 경우는 상한 노름 (영어 : supremum norm )
‖
x
‖
∞
=
lim
p
→
∞
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
=
max
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
…
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}}
이 된다.
p
=
1
{\displaystyle p=1}
인 경우는 맨해튼 노름
‖
x
‖
1
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
{\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}
이 된다.
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어,
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.
‖
x
‖
=
2
|
x
1
|
+
3
|
x
2
|
2
+
max
(
|
x
3
|
,
2
|
x
4
|
)
2
{\displaystyle \Vert x\Vert =2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}}
그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.