멱등원

환론모노이드 이론에서, 멱등원(蓂等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

정의편집

범주의 멱등 사상편집

범주  자기 사상   를 만족시킨다면,   멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.

만약  이며  가 되는 사상  ,  가 존재한다면,  분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.

 카루비 껍질(영어: Karoubi envelope)  는 다음과 같은 범주이다.

  •  의 대상   의 대상    위의 멱등 사상  순서쌍이다.
  •  의 사상   의 사상   가운데,  인 것이다.
     
  •   위의 항등 사상 이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

 
 
 

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

 

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

 

가 존재한다.

모노이드의 멱등원편집

모노이드  의 원소   을 만족시킨다면,   멱등원이라고 한다.

모노이드  의 멱등원들만으로 구성된 집합  에서, 만약

 

가 성립한다면,  직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임대수 구조 다양체를 이룬다.  개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)

 

환의 멱등원편집

은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

 의 멱등원  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.

  •   -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
  •   -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
  •  의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
  •  이자  ,  인 멱등원  가 존재하지 않는다.

 의 멱등원  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

외부 링크편집