범주의 동치

범주론에서, 두 범주 사이의 동치(同値, 영어: equivalence (of categories))는 두 범주가 사실상 같은 구조를 지니게 하는 함자이다. 범주의 동형보다 더 약한 개념이며, 범주의 동형보다 더 널리 쓰인다.

정의편집

범주    사이의 함자  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이 조건을 만족시키는     사이의 동치라고 한다.

  •   가 항등 함자와 자연 동형인 함자  가 존재한다.
  • 충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자(영어: essentially surjective functor)이다 (즉,  의 모든 원소는 적어도 하나의  의 원소와 동형이다).

성질편집

서로 동치인 두 범주는 범주론에서 다루는 거의 모든 성질이 같다. 예를 들어, 동치는 모든 극한쌍대극한을 보존하며, 또한 전사 사상단사 사상을 보존한다.

작은 범주편집

범주  의 부분 범주  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이를 만족시키는   뼈대(영어: skeleton)라고 한다.

  • 충만한 부분 범주이며,  의 임의의 대상은 정확히 하나의  의 대상과 동형이다.
  • 포함 함자  는 동치이며, 뼈대 범주(영어: skeletal category)이다 (즉,  의 임의의 서로 다른 두 대상은 동형이 아니다).

모든 작은 범주는 뼈대를 가지며, 이는 범주의 동형 아래 유일하다. 이는 선택 공리와 동치이다. 또한, 두 작은 범주   에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

  •   는 서로 동치이다.
  •   의 뼈대는 서로 동형이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집