멱영 아이디얼

환론에서, 멱영 아이디얼(冪零ideal, 영어: nilpotent ideal)은 아이디얼의 거듭제곱을 취했을 때 영 아이디얼이 되는 아이디얼이다. 이는 멱영원만으로 구성된 아이디얼보다 더 강한 조건이다.

정의편집

유사환   속의 왼쪽 아이디얼  가 주어졌다고 하자.

만약

  •  이 되는 양의 정수  이 존재한다면,  멱영 왼쪽 아이디얼(冪零-ideal, 영어: nilpotent left ideal)이라고 한다.
  •  의 모든 원소가 멱영원이라면 (즉, 임의의  에 대하여  이 되는 양의 정수  이 존재한다면),  멱영원 왼쪽 아이디얼(冪零元-ideal, 영어: nil left ideal)이라고 한다.

마찬가지로, 멱영(원) 오른쪽 아이디얼(冪零(元)-ideal, 영어: nil(potent) right ideal) 및 멱영(원) 양쪽 아이디얼(冪零(元)兩-ideal, 영어: nil(potent) two-sided ideal)을 정의할 수 있다.

임의의 유사환에서, 모든 멱영 아이디얼은 멱영원 아이디얼이지만, 일반적으로 그 역은 (심지어 가환환에서도) 성립하지 않을 수 있다.

성질편집

레비츠키 정리(Левицкий定理, 영어: Levitsky theorem)에 따르면, 오른쪽 뇌터 환왼쪽 아이디얼  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 멱영 왼쪽 아이디얼이다.
  • 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.

마찬가지로, 오른쪽 뇌터 환오른쪽 아이디얼에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 멱영 오른쪽 아이디얼이다.
  • 멱영원 오른쪽 아이디얼이다.

쾨테 추측편집

유사환  에 대하여, 다음 성질을 생각할 수 있다.

(가) 만약   속의 유일한 멱영원 양쪽 아이디얼이 0이라면,   속의 유일한 멱영원 왼쪽 아이디얼 역시 0 밖에 없다.

모든 유사환이 이 조건을 만족시킨다는 명제를 쾨테 추측(Köthe推測, 영어: Köthe conjecture)이라고 한다. 이는 일부 종류의 (유사)환들에 대하여 증명되었으나, 일반적인 경우는 현재 미해결 문제이다.

역사편집

쾨테 추측은 1930년에 고트프리트 쾨테(독일어: Gottfried Köthe)가 제시하였다.[1]

레비츠키 정리는 1939년에 야코프 레비츠키(러시아어: Я́ков Леви́цкий, 우크라이나어: Я́ків Леви́цький 야키우 레비치키[*], 히브리어: יַעֲקֹב לויצקי‎‎ 야아코브 레비츠키)가 증명하였으나, 제2차 세계 대전으로 인해 그 증명은 1950년에 출판되었다.[2][3]

참고 문헌편집

  1. Köthe, Gottfried (1930). “Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 32 (1): 161–186. doi:10.1007/BF01194626. 
  2. Levitzki, Jakob (1950). “On multiplicative systems”. 《Compositio Mathematica》 (영어) 8: 76–80. MR 0033799. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 7일에 확인함. 
  3. Levitzki, Jakob (1945). “Solution of a problem of G. Koethe”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 67 (3): 437–442. doi:10.2307/2371958. ISSN 0002-9327. JSTOR 2371958. MR 0012269. 

외부 링크편집