멱함수

수학에서 멱함수(冪函數, 영어: power function)는 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로 하는 함수이다.

멱함수의 그래프

정의

멱함수는 다음과 같은 꼴의 실수 또는 복소수 함수이다.

$f(x)=cx^{\alpha }$

성질

정의역·치역

편의상 $c=1$이라고 하자. 실수 멱함수 $x^{\alpha }$의 정의역과 치역은 다음과 같다.

지수	정의역	치역	예시
분모와 분자가 홀수인 양의 기약 분수 (특히, 양의 홀수)	전체 실수	전체 실수	$x^{1/3}$
분모가 홀수, 분자가 짝수인 양의 기약 분수 (특히, 양의 짝수)	전체 실수	음이 아닌 실수	$x^{2/3}$
0	0이 아닌 실수	1	$x^{0}$
분모와 분자가 홀수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 홀수)	0이 아닌 실수	0이 아닌 실수	$x^{-1}$
분모가 홀수, 분자가 짝수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 짝수)	0이 아닌 실수	양의 실수	$x^{-2}$
분모가 짝수인 양의 기약 분수	음이 아닌 실수	음이 아닌 실수	$x^{1/2}$
기약 분모가 짝수인 음의 기약 분수	양의 실수	양의 실수	$x^{-1/2}$
무리수	양의 실수	양의 실수	$x^{\sqrt {2}}$

미적분

멱함수 $x^{\alpha }$의 도함수는 다음과 같다. 이를 멱의 법칙이라고 한다.

$(x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}$

멱함수 $x^{\alpha }$의 부정적분은 다음과 같다.

$\int x^{\alpha }dx={\begin{cases}\textstyle {\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C&\alpha \neq -1\\\ln x+C&\alpha =-1\end{cases}}$

테일러 급수

멱함수 $(1+x)^{\alpha }$의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}$

같이 보기

• 멱법칙(power law)

외부 링크

• “Power function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.