모함수 (물리학)

해밀턴 역학에서, 모함수(母函數, generating function)는 두 개의 일반화 좌표간의 정준변환을 연결해주는 함수이다.

도입편집

기존의 일반화 좌표  로부터 정준변환에 의한 새로운 좌표  해밀턴 방정식의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리를 만족하면 된다.

 

여기서  는 새로운 좌표로 기술된 해밀토니언이고  는 임의의 함수이다. 여기서  에 관계된 항은, 적분하면 경로의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식 에 관계없는 식이 된다. 따라서  를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 모함수라 한다.

그런데 좌표변환 관계식

 
 

에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에  를 완전 자유롭게 선택할 수는 없게 된다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약이 되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는   ,   ,   또는   중 하나이다.

목록편집

기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.

모함수의 꼴 모함수의 미분
1종     ,  
2종     ,  
3종     ,  
4종     ,