수학적 설명
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해밀턴의 원리는
N
{\displaystyle N}
일반화 좌표
q
=
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}
계 의 두 상태
q
1
=
q
(
t
1
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}
q
2
=
q
(
t
2
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}
작용 범함수 의 극값 이라는 원리이다.
S
[
q
(
t
)
]
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
{\displaystyle S[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt}
여기서
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}
라그랑지안 이다. 바꿔말하면, 변화의 일차 섭동 은 작용
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
함수 를 대입하면 스칼라 가 나오는 범함수 임에 유의하자. 함수해석학 의 표기를 따르면, 해밀턴의 원리는 계의 진화가 다음과 같은 범함수 방정식
δ
S
δ
q
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0}
의 해임을 의미한다. 여기서 기호
δ
{\displaystyle \delta }
미분방정식을 통한 고전역학의 기술과의 비교
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위 사실이 미분방정식 을 사용한 고전역학 의 기술과 동등함을 보이려면, 위 식으로부터 라그랑주 방정식 이나 해밀턴 방정식 을 얻어낼 수 있어야 한다.
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)}
t
1
{\displaystyle t_{1}}
t
2
{\displaystyle t_{2}}
q
1
=
q
(
t
1
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}
q
2
=
q
(
t
2
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}
q
{\displaystyle \mathbf {q} }
δ
q
(
t
)
{\displaystyle \delta \mathbf {q} (t)}
δ
q
(
t
)
{\displaystyle \delta \mathbf {q} (t)}
δ
q
(
t
1
)
=
0
{\displaystyle \delta \mathbf {q} (t_{1})=0}
δ
q
(
t
2
)
=
0
{\displaystyle \delta \mathbf {q} (t_{2})=0}
경로가 변함에 따라 작용이 어떻게 변하는지 알아보기 위해 작용에 변분을 취하면,
δ
S
=
δ
∫
t
1
t
2
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
=
∑
i
∫
t
1
t
2
[
∂
L
∂
q
i
δ
q
i
+
∂
L
∂
q
˙
i
δ
q
˙
i
]
d
t
{\displaystyle \delta S=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt=\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\partial L \over \partial q_{i}}\delta q_{i}+{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\delta {\dot {q}}_{i}\right]\,dt}
가 된다. 여기서 마지막 항에 부분적분 을 쓰면,
δ
S
=
∑
i
[
∫
t
1
t
2
∂
L
∂
q
i
δ
q
i
d
t
+
δ
q
i
∂
L
∂
q
˙
i
|
t
1
t
2
−
∫
t
1
t
2
δ
q
i
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
i
d
t
]
{\displaystyle \delta S=\sum _{i}\left[\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\partial L \over \partial q_{i}}\delta q_{i}dt+\left.\delta q_{i}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}dt\right]}
이고 양 끝에서 경로의 변분이 0이므로,
δ
S
=
∑
i
[
∫
t
1
t
2
δ
q
i
(
∂
L
∂
q
i
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
i
)
d
t
]
{\displaystyle \delta S=\sum _{i}\left[\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}\left({\partial L \over \partial q_{i}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right)dt\right]}
이 된다. 최종적으로 해밀턴의 원리는 이 변분의 값이 0인 것을 말하므로 괄호안의 항이 0, 즉
∂
L
∂
q
i
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
i
=
0
{\displaystyle {\partial L \over \partial q_{i}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}=0}
임을 말한다. 이 해를 라그랑주 방정식 과 비교하면 일치함을 확인할 수 있다. 특별히, 이렇게 변분을 통해 얻어진 이 방정식을 오일러-라그랑주 방정식 이라고 한다. 따라서 이 최소작용의 원리는 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술과 동등함을 알 수 있다.
간단한 역사
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수학자 피에르 드 페르마 가 1662년에 쓴 편지에서 빛은 시간이 최소한으로 걸리는 경로를 지난다는 페르마의 원리 를 말한다. 그 뒤 모페르튀 가 현대의 최소 작용의 원리의 좁은 의미에 해당하는 모페르튀의 원리를 발표한다. 오일러 도 비슷한 시기에 작용원리를 발표한다. 이후 라그랑주 , 해밀턴 등이 이러한 방식을 더욱 발전시켜 오늘날 고전역학 전공서에 라그랑주 역학과 해밀턴 역학이 나온다.
참고 문헌
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문희태 (2006). 《고전역학》 개정판. 서울: 서울대학교 출판부. 60-5, 274-5쪽. Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2003). 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 229-231쪽. Herbert Goldstein; Charles Poole, John Safko (2002). 《Classical Mechanics》 3판. Addison Wesley. p. 34-6쪽. Gray, Chris G (2009). “Principle of least action”. 《Scholarpedia》 4 (12): 8291. doi :10.4249/scholarpedia.8291 .
![{\displaystyle S[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbc2a59208798c04ca1acc8ece665102d747234)
![{\displaystyle \delta S=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt=\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\partial L \over \partial q_{i}}\delta q_{i}+{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\delta {\dot {q}}_{i}\right]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e13d4b23e0378b3b400211269a753c5af558461)
![{\displaystyle \delta S=\sum _{i}\left[\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\partial L \over \partial q_{i}}\delta q_{i}dt+\left.\delta q_{i}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997a7ca06958b75152444aa4c040c8beaefe8c65)
![{\displaystyle \delta S=\sum _{i}\left[\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}\left({\partial L \over \partial q_{i}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right)dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4689c2c674bc10a58b5151141924e64d0af2f3f3)
