무연근
유리방정식이나 무리방정식을 푸는 과정에서 구해지는 근이지만 실제로는 근이 아닌 것
무연근(無緣根, Extraneous and missing solutions)
다항방정식은 해를 구하는 유도과정을 거쳐서 근을 찾게 되는데,[1] 이때 다항식이 유리방정식(분수방정식)이나 무리방정식의 경우라면, 해로서 구한 근이 다항방정식의 근이기도 하지만 원래의 유리방정식이나 무리방정식의 근이 아닌 것이 해로 포함되어 나타낼 때가 있다. 이와 같은 근을 무연근이라고 한다.[2]
따라서 유리방정식이나 무리방정식의 근의 경우에는 찾은 근을 원래의 다항식에 대입하여 다항방정식이 성립되지 않는 무연근을 찾아 제외해야 하는 검산을 거쳐야 한다.
유리방정식의 경우
편집유리방정식은 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 유리방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 여기서 나온 해 중에서 유리방정식이 성립하지 않는 근을 무연근이라고 하며, 무연근은 해집합에서 제외한다.
- 을 원래의 식 에 대입해 무연근 여부를 검산하면,
양변이 같으므로 은 위의 방정식에 성립하고 따라서 무연근이 아니므로,
그러므로, 의 해는 이 된다.
무리방정식의 경우
편집방정식의 항에 무리수를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리방정식이라 한다.
무리방정식 에 대해서,
- 로 치환하면,
이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면,
치환을 정리하면,
- 일때,
- 식에 대입하여 무연근을 확인하면,
- 이므로 무연근이 아니고,
- 일때,
- 식에 대입하여 무연근을 확인하면,
- 이므로 무연근이다.
따라서, 의 근은 이다.
같이 보기
편집각주
편집- ↑ http://www.tmath.or.kr/kin/qna/detail.asp?qnaNum=125 Archived 2016년 10월 18일 - 웨이백 머신 -사단법인 전국수학교사모임
- ↑ http://www.mathlove.kr/shop/mathlove/share/share_01_read.php?tm=1&menus=share1&no=990&page=13 -수학사랑