무한곱

해석학에서 무한곱(無限-, 영어: infinite product)은 무한 수열의 부분 유한곱의 극한이다.

정의

복소수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {C}$의 무한곱

$\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}a_{1}a_{2}\cdots$

은 다음과 같은 극한이다.

$\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }a_{0}a_{1}\cdots a_{n}$

임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $\prod _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}a_{1}\cdots a_{n}$은 무한곱의 $n$번째 부분곱(部分-, 영어: partial product)이다. 즉, 무한곱은 부분곱의 극한이다. 만약 $a_{n}=0$인 $n\in \mathbb {N}$이 존재한다면, 부분곱은 $n$번째 이후부터 0이며, 따라서 무한곱을 정의하는 극한은 0이다. 만약 $\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|<1$이라면, 부분곱은 마찬가지로 0으로 수렴한다. 더 흥미로운 경우에 집중하기 위하여, 무한곱의 수렴성은 부분곱이 0이 아닌 수로 수렴할 것을 요구한다. 즉, 만약 부분곱의 극한이 존재하며, 0이 아니라면, 무한곱 $\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}$이 수렴한다고 한다. 반대로 만약 부분곱의 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 $\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}$이 발산한다고 한다.

성질

만약 무한곱 $\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}$이 수렴한다면, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$이다.

복소수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {C}$에 대하여, 만약 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $|a_{n}|<1$이라면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• 무한곱 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
• 급수 $\sum _{n=N}^{\infty }\ln(1+a_{n})$는 수렴한다.

복소수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {C}$에 대하여, 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $|a_{n}|<1$이며, 또한 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 하자.

• (양의 실수의 수열) 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $a_{n}\in \mathbb {R} ^{+}$^{:219, Theorem 3}
• (르베그 2-수렴) $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty$^{:225, Supplementary theorem}

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 무한곱 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
• 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$는 수렴한다.

일반적으로, 무한곱 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$이 수렴하더라도 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$는 발산할 수 있다.

예

월리스 곱

다음과 같은 무한곱을 월리스 곱(영어: Wallis product)이라고 한다.

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자.

$\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\mathrm {d} x={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\mathrm {d} x={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}\qquad (n\in \{1,2,\dots \})$

임의의 $x\in (0,\pi /2)$ 및 $n\in \{1,2,\dots \}$에 대하여 $\sin ^{2n+1}x<\sin ^{2n}x<\sin ^{2n-1}x$이므로, 다음이 성립한다.

$\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\mathrm {d} x<\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\mathrm {d} x<\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-1}x\mathrm {d} x$

여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

$\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n+1}}<{\frac {\pi }{2}}<\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n}}$

다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 $\pi /2$로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다.

${\begin{aligned}0&<\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n}}-\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n+1}}\\&=\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}{\frac {1}{2n(2n+1)}}\\&<{\frac {1}{2n}}{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

리만 제타 함수

 이 부분의 본문은 리만 제타 함수입니다.

리만 제타 함수의 $s>1$에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

여기에 $(1-1/2^{s})$를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{s}}}=\sum _{2\nmid n}{\frac {1}{n^{s}}}$

다시 $(1-1/3^{s})$를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{2\nmid n}{\frac {1}{n^{s}}}-\sum _{2\nmid n}{\frac {1}{(3n)^{s}}}=\sum _{2,3\nmid n}{\frac {1}{n^{s}}}$

이를 모든 소수 $p_{1}=2,p_{2}=3,\dots$에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.

$\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1$

즉, $s>1$에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-1/p_{k}^{s}}}$

외부 링크

• “Infinite product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “A divergent sereis for which $\prod (1+a_{n})$ converges”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어).