무한곱

수학에서 무한곱(無限-, 영어: infinite product)은 무한 수열의 모든 항의 곱이다. 이는 앞의 몇 항의 유한곱에 대한 극한으로 정의되며, 이 극한값이 0이 아닐 경우에만 무한곱이 수렴하는 것으로 정의한다. 무한곱이 수렴하려면 그 수열 항의 극한이 1이어야 하므로, 편의상 수열의 모든 항이 양의 실수라고 가정하여도 무방하다.

정의편집

실수 수열  무한곱  의 값은 부분곱(部分-, 영어: partial product)  의 열의 극한

 

으로 정의된다. 만약 위와 같은 극한이 존재하고 0이 아니라면, 무한곱  수렴(收斂, 영어: convergent)한다고 한다. 만약 반대로 위와 같은 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱  발산(發散, 영어: divergent)한다고 한다.

성질편집

만약 무한곱  이 (0이 아닌 값으로) 수렴한다면,  이다.

실수 수열    ( )를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 무한곱  이 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
  • 급수  이 수렴한다.

실수 수열    ( )를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 무한곱  이 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
  • 급수  이 수렴한다.

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월리스 곱편집

다음과 같은 무한곱을 월리스 곱(영어: Wallis product)이라고 한다.

 

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자.

 
 

임의의   에 대하여  이므로, 다음이 성립한다.

 

여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

 

다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은  로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다.

 

리만 제타 함수편집

리만 제타 함수 에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.

 

여기에  를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.

 

다시  를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.

 

이를 모든 소수  에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.

 

즉,  에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

외부 링크편집