다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
부분 집합 들의 필터 기저
B
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
x
{\displaystyle x}
(영어 : the filter base
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
x
{\displaystyle x}
)고 하며,
x
{\displaystyle x}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
극한 이라고 한다. 이를
B
→
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}
N
x
⊂
↑
B
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}
근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
B
⊂
U
{\displaystyle B\subset U}
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
N
x
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
x
{\displaystyle x}
근방 필터 이며,
↑
B
{\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
상폐포 다.)다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면
x
{\displaystyle x}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
집적점 (集積點, 영어 : cluster point )이라고 한다.
x
∈
⋂
B
∈
B
cl
B
{\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B}
cl
B
{\displaystyle \operatorname {cl} B}
B
{\displaystyle B}
폐포 다.)
↑
B
⊂
↑
B
′
{\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'}
필터 기저
B
′
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)}
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
필터 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
그물
{
(
b
,
B
)
:
b
∈
B
∈
B
}
→
X
{\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X}
(
b
,
B
)
↦
b
{\displaystyle (b,B)\mapsto b}
의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서 는 다음과 같다.
(
b
,
B
)
≲
(
b
′
,
B
′
)
⟺
B
⊃
B
′
{\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'}
그물과 점렬
편집
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
그물
(
x
i
)
i
∈
(
I
,
≲
I
)
⊂
X
{\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
만약 다음 조건이 성립한다면, 그물
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
{\displaystyle x}
(영어 : the net
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
{\displaystyle x}
)고 하며,
x
{\displaystyle x}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
극한 이라고 한다. 이를
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
임의의 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
∀
i
≳
I
i
0
:
x
i
∈
U
{\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U}
i
0
∈
I
{\displaystyle i_{0}\in I}
다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면
x
{\displaystyle x}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
집적점 이라고 한다.
임의의 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
i
0
∈
I
{\displaystyle i_{0}\in I}
x
i
∈
U
{\displaystyle x_{i}\in U}
i
≳
I
i
0
{\displaystyle i\gtrsim _{I}i_{0}}
x
i
(
j
)
→
x
{\displaystyle x_{i(j)}\to x}
상향 원순서 집합
(
J
,
≲
J
)
{\displaystyle (J,\lesssim _{J})}
단조 공종 함수
i
:
J
→
I
{\displaystyle i\colon J\to I}
x
i
(
j
)
→
x
{\displaystyle x_{i(j)}\to x}
∀
i
0
∈
I
∃
j
0
∈
J
∀
j
∈
j
0
:
i
(
j
)
≳
i
0
{\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}}
상향 원순서 집합
(
J
,
≲
J
)
{\displaystyle (J,\lesssim _{J})}
함수
i
:
J
→
I
{\displaystyle i\colon J\to I}
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
그물
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
필터 기저
{
{
x
i
:
i
≳
i
0
}
:
i
0
∈
I
}
{\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}
의 극한·집적점과 일치한다.
이에 따라, 필터 기저 와 그물 의 수렴에 대한 결과는 서로 대응하며, 서로를 함의한다.
점렬
(
x
i
)
i
∈
N
⊂
X
{\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset X}
I
=
N
{\displaystyle I=\mathbb {N} }
부분 점렬 의 극한과 동치 다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
y
0
∈
Y
{\displaystyle y_{0}\in Y}
그렇다면,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
빠진 근방 들의 집합족
D
x
0
=
{
U
∖
{
x
0
}
:
U
∈
N
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}
은
X
{\displaystyle X}
부분 집합 들의 필터 기저 를 이루며, 따라서 그 상
f
(
D
x
0
)
{\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}
Y
{\displaystyle Y}
부분 집합 들의 필터 기저 를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
(영어 : the map
f
{\displaystyle f}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
)고 하며,
y
0
{\displaystyle y_{0}}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
극한 이라고 한다. 이는
f
(
x
)
→
y
0
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})}
라고 쓴다.
f
(
D
x
0
)
{\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
근방
V
∋
y
0
{\displaystyle V\ni y_{0}}
f
(
U
∖
{
x
0
}
)
⊂
V
{\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V}
근방
U
∋
x
0
{\displaystyle U\ni x_{0}}
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
실수선 일 때,
D
x
0
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}}
D
x
0
−
=
{
U
∩
(
−
∞
,
x
0
)
:
U
∈
N
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}
D
x
0
+
=
{
U
∩
(
x
0
,
∞
)
:
U
∈
N
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}
을 사용하면
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
좌극한 (左極限, 영어 : left limit )·우극한 (右極限, 영어 : right limit )의 개념을 얻는다.
이 문서는 극한의 일반적인 정의에 관한 것입니다. 실수 수열의 극한에 대해서는 수열의 극한#실수 수열 문서를, 실함수의 극한에 대해서는 함수의 극한#일변수 함수 문서를 참고하십시오.
이 부분의 본문은 근방 필터입니다.
