바이첸뵈크 부등식
기하학에서 바이첸뵈크 부등식(영어: Weitzenböck’s inequality)은 삼각형의 세 변의 길이의 제곱의 합과 넓이 사이에 성립하는 부등식이다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/LabeledTriangle.svg/220px-LabeledTriangle.svg.png)
정의
편집삼각형 의 꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 , , 라고 하고, 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 이를 바이첸뵈크 부등식이라고 한다.[1]:104, §10.2
등호가 성립될 필요 충분 조건은 정삼각형이다.
사실
는 삼각형 의 브로카르 각의 코탄젠트 값과 같다. 따라서 바이첸뵈크 부등식은 모든 삼각형의 브로카르 각이 이하이며, 정확히 일 필요 충분 조건은 정삼각형이라는 명제와 동치이다.
증명
편집증명 1
편집에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.
마지막 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 이므로, 바이첸뵈르크 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정삼각형이다.
증명 2
편집편의상 라고 하자. 꼭짓점 를 지나는 대변 의 수선의 발을 라고 하자. 그렇다면 피타고라스 정리에 따라
등식이 성립할 필요 충분 조건은
이며, 이는 정삼각형과 동치이다.
역사
편집각주
편집- ↑ Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.
같이 보기
편집외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Weitzenböck’s inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.