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지수함수적 붕괴반감기(半減期, half-life)란 어떤 양이 초기 값의 절반이 되는데 걸리는 시간이다. 원개념은 방사성 붕괴에서 기인한 것이나, 현재는 여러 다른 분야에서도 쓰이고 있다.

반감기
진행 횟수
잔여량 비율
(백분율)
0 100%
1 50%
2 25%
3 12.5%
4 6.25%
5 3.125%
6 1.5625%
7 0.78125%
... ...
N
... ...

반감기(t1⁄2)는 어떠한 물질의 양이 초기값의 절반이 되는데 걸리는 시간이다. 이 용어는 불안정한 원자들이 얼마나 빠른 속도로 핵분열을 하는지를 설명하기 위하여 핵물리학에서 빈번히 사용되지만, 임의의 지수함수적 붕괴를 논하는데 더 일반적으로 사용된다. 오른쪽의 표로 반감기가 몇번 경과했는가에 따라 '어떤 양'이 어떻게 감소하는지 알 수 있다.

반감기의 확률적 특성편집

 
상자당 4 원자(좌측)이나 400 원자(우측)으로 시작하는, 방사성 붕괴가 진행 중인 수많은 동일한 원자들의 시뮬레이션. 상단에 있는 숫자는 거친 반감기 횟수를 의미한다. 큰 수의 법칙의 결과를 참고: 원자의 수가 많을수록, 전반적인 붕괴 양상이 더 규칙적이고 예측적이다.

지수함수적 붕괴의 대상이 되는 양은 일반적으로 N으로 나타낸다. (이는 붕괴하는 양을 나타내는 이산적임을 암시한다. 이 해석은 지수함수적 붕괴의 여러 경우에 유효하나, 모든 경우에 유효한 것은 아니다.) 양을 N으로 나타낼 때, 시간 t에서의 N의 값은 다음 수식으로 나타낸다.

지수함수적 붕괴의 반감기에 대한 식편집

지수함수적 붕괴는 소개된 3가지 동일한 공식 중 그 어떠한 것으로도 설명이 가능하다:

 

여기에서

  • N0 은 붕괴를 거칠 물질의 양의 초기값 (이 양은 그램, 몰수, 원자의 수 등으로 측정될 수 있다.),
  • N(t)은 시간 t 경과 후에 붕괴되지 않고 남아있는 물질의 양,
  • t1⁄2 은 붕괴 중인 양의 반감기,
  •   은 붕괴 중인 물질의 평균 수명 시간,
  •  은 붕괴 중인 물질의 붕괴 상수이다.

세 변수  ,  , 그리고   는 주어진 식과 같은 관계를 가진다:

 

이 관계식을 적절히 조작함으로써, 반감기의 면에서 지수함수적 붕괴에 관해 동일한 설명을 얻는다. :

 

식이 어떠하던 간에, 식을 적절히 조합하여 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다:

  •  ("초기값"의 정의)
  •   (반감기의 정의)
  •  ; t 가 무한으로 발산함에 따라 잔여량은 0에 수렴한다(많은 시간이 흐를수록, 작은 양이 남게 된다).


t=0일 때 지수함수 부분이 1이 되어 N(t) 와 같아진다. t무한히 커질 때, 지수함수 부분은 0에 가까워진다.

여기에서 다음과 같은 특정한  가 존재하는데, :

 

이것을 위의 공식에 대입하면 :

 
 
 
 

그러므로 반감기는 평균 수명의 약 69.3%가 된다.

각주편집