방정식 xy = yx

일반적으로 지수교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 방정식 와 같은 근을 가진다.[1]

xy = yx의 그래프. 선과 곡선은 ( e, e )에서 교점을 갖는다.

역사 편집

이 방정식은 다니엘 베르누이골트바흐에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다.[2] 그 편지에 따르면  인 경우 유리수 범위에서  ,  를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는   뿐이라고 한다.[3][4] 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일[2])에는  로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 오일러도 비슷한 풀이법을 발견했다.

J. van Hengel은  이 모두 양의 정수이면서  이면  이므로 자연수 해를 찾는다면  ,  를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다.[4][5]

이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데,[2][3][4] 1960년에 이 방정식은 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회의 질문 중 하나였으며[6][7] Alvin Hausner는 결과를 대수적 수체로 확장했다.[8]

양수 해 편집

주요 출처:[1]

의 실수 범위에서 자명근 집합은  이다. 비자명근은 람베르트 W 함수를 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을   꼴로 변형하고   를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 W 함수의 정의를 적용하여  와 같이 쓰는 것이다.

 
 
 

마지막 줄에서 람베르트 W 함수의 성질  을 사용했다.

여기서 이 해를 람베르트 W 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면

 
  •   :
 
 
  •   :
 
 
  •   :
 
 
  •   :
 
 

따라서 비자명근은 다음과 같다.

 

매개변수 형태 편집

비자명근은  로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을   제곱하고  로 나누면, 다음을 얻는다.

 
 

따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다.

 

따라서 1이 아닌 양수  에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.

이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.  인 순서쌍  에 대하여  이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라  . (단,  는 1이 양수)


다른 실근 편집

 ,   중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어,  ,   (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게  가 실수일 때 자명근   ( )도 존재한다. (예를 들어  )

유사한 그래프 편집

방정식 xy = yx 편집

방정식  의 그래프는  에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다.

곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다.

 


이 방정식은  와 동치인데, 양변을  제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식   는 방정식  와 동치이다.

방정식 logx(y) = logy(x) 편집

방정식  의 그래프는 (1, 1)에서 서로 만나는 곡선   로 이루어져 있다.

각주 편집

  1. Lóczi, Lajos. “On commutative and associative powers”. 《KöMaL》. 2002년 10월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서.  Translation of: “Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás?” (헝가리어). 2016년 5월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
  2. Singmaster, David. “Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition”. 2004년 4월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
  3. Sved, Marta (1990). “On the Rational Solutions of xy = yx (PDF). 《Mathematics Magazine》 63: 30–33. doi:10.1080/0025570X.1990.11977480. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 
  4. Dickson, Leonard Eugene (1920), 〈Rational solutions of xy = yx, 《History of the Theory of NumbersII, Washington, 687쪽 
  5. van Hengel, Johann (1888). “Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt”. 《Pr. Gymn. Emmerich》. JFM 20.0164.05. 
  6. Gleason, A. M.; Greenwood, R. E.; Kelly, L. M. (1980), 〈The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1〉, 《The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964》, MAA, 59쪽, ISBN 0-88385-428-7 
  7. “21st Putnam 1960. Problem B1”. 1999년 10월 20일. 2008년 3월 30일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
  8. Hausner, Alvin (November 1961). “Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation mn = nm”. 《The American Mathematical Monthly68 (9): 856–861. doi:10.1080/00029890.1961.11989781. ISSN 0002-9890. 

외부 링크 편집