복소함수

수학에서 복소 함수(複素函數, 영어: function of a complex variable)는 정의역과 공역의 원소가 모두 복소수인 함수이다.

정의

복소 함수는 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다.

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

여기서 $u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$이다.

예

복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다.

복소 지수함수

복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다.

$e^{z}\,=\,e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)$

다음과 같은 성질을 갖는다.

$e^{iy}\,=\,\cos y+i\sin y$ (오일러 공식)

이며, $z=re^{i\theta }$는

$e^{2\pi i}=1$

로 나타낼 수 있다.

또한

$e^{z+2\pi i}=e^{z}$

이므로, $w=e^{z}$가 가질 수 있는 값은 폭 $2\pi$인 수평띠

$-\pi <y\leq \pi$

안에 있게 되는데, 이 무한 띠를 $e^{z}$의 기본영역(fundamental region)이라 부른다.

복소 삼각함수

$\cos z={\frac {1}{2}}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right),\sin z={\frac {1}{2i}}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)$

실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다.

${\begin{aligned}&\cos \left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\sin z_{2}\\&\sin \left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \sin z_{2}\cos z_{1}\\\end{aligned}}$

복소 쌍곡선함수

$\cosh z={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right),\sinh z={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)$

복소 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

복소쌍곡선함수와 삼각함수의 관계는 다음과 같다.

$\cosh iz=\cos z,\,\sinh iz=i\sin z,\,\tanh iz=i\tan z$

복소삼각함수와 쌍곡선함수의 관계는 다음과 같다.

$\cos iz=\cosh z,\,\sin iz=i\sinh z,\,\tan iz=i\tanh z$

복소 로그함수

$z=x+iy$의 자연로그(natural logarithm)는 $\ln \,z$로 표시하고 지수함수의 역함수로 정의한다.

${\begin{aligned}&\ln z=\ln r+i\theta \\&\left(r=\left|z\right|>0,\theta =\arg z\right)\\\end{aligned}}$

이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다. $z$의 편각은 $2\pi$의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그 $\ln z\ \left(z\neq 0\right)$는 무한히 많은 값을 갖는다. $\operatorname {Arg} \,\,z$에 상응하는 $\ln \,z$의 값을 $\operatorname {Ln} \,\,z$로 표기하고, $\ln \,z$의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서,

$\operatorname {Ln} \,z=\ln \left|z\right|+i\operatorname {Arg} \,z$

이다. $\operatorname {Arg} \,z$의 다른 값들은 $2\pi$의 정수배만큼 다르므로 $\ln \,z$의 다른 값들은

$\ln z=\operatorname {Ln} \,z\pm 2n\pi i$

이 된다.

일반 거듭제곱

복소수 $z=x+iy$의 일반 거듭제곱 공식

$z^{c}\,=\,e^{c\ln z}$

로 정의된다.

참고 도서

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.