수학에서 복소 함수(複素函數, 영어: function of a complex variable)는 정의역공역의 원소가 모두 복소수함수이다.

정의

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복소 함수는   꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다.

 

여기서  이다.

복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다.

복소 지수함수

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복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다.

 

다음과 같은 성질을 갖는다.

  (오일러 공식)

이며,  

 

로 나타낼 수 있다.

또한

 

이므로,  가 가질 수 있는 값은 폭  인 수평띠

 

안에 있게 되는데, 이 무한 띠를  기본영역(fundamental region)이라 부른다.

복소 삼각함수

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실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다.

 

복소 쌍곡선함수

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복소 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

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복소쌍곡선함수삼각함수의 관계는 다음과 같다.

 

복소삼각함수쌍곡선함수의 관계는 다음과 같다.

 

복소 로그함수

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 자연로그(natural logarithm)는  로 표시하고 지수함수역함수로 정의한다.

 

이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다.  의 편각은  의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그  는 무한히 많은 값을 갖는다.  에 상응하는  의 값을  로 표기하고,  의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서,

 

이다.  의 다른 값들은  의 정수배만큼 다르므로  의 다른 값들은

 

이 된다.

일반 거듭제곱

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복소수  의 일반 거듭제곱 공식

 

로 정의된다.

참고 도서

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Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.