복소함수

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수학에서, 복소 함수(複素函數, 영어: function of a complex variable)는 정의역공역의 원소가 모두 복소수함수이다.

정의편집

복소 함수는   꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다.

 

여기서  이다.

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복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다.

복소 지수함수편집

복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다.

 

다음과 같은 성질을 갖는다.

  (오일러 공식)

이며,  

 

로 나타낼 수 있다.

또한

 

이므로,  가 가질 수 있는 값은 폭  인 수평띠

 

안에 있게 되는데, 이 무한 띠를  기본영역(fundamental region)이라 부른다.

복소 삼각함수편집

 

실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다.

 

복소 쌍곡선함수편집

 

복소 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계편집

복소쌍곡선함수삼각함수의 관계는 다음과 같다.

 

복소삼각함수쌍곡선함수의 관계는 다음과 같다.

 

복소 로그함수편집

 자연로그(natural logarithm)는  로 표시하고 지수함수역함수로 정의한다.

 

이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다.  의 편각은  의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그  는 무한히 많은 값을 갖는다.  에 상응하는  의 값을  로 표기하고,  의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서,

 

이다.  의 다른 값들은  의 정수배만큼 다르므로  의 다른 값들은

 

이 된다.

일반 거듭제곱편집

복소수  의 일반 거듭제곱 공식

 

로 정의된다.

참고 도서편집

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.  |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)