부분공간 위상

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위상수학에서 부분공간 위상(subspace topology)이란 위상 공간 X 의 위상으로부터 자연스럽게 유도되는 X 의 부분집합의 위상이다. 부분공간 위상을 갖는 X 의 부분집합을 부분공간(subspace)라 한다.

정의 편집

XT를 위상으로 갖는 위상 공간이라 하자. 이 때, X 의 임의의 부분집합 Y에 대해 다음과 같이 정의된 모임

 

Y 의 위상이 되며 이러한 위상을 부분공간 위상이라 한다. 그리고 이 위상을 갖는 부분 집합 (Y, TY)를 부분공간이라 한다. 보통 위상 공간의 부분 집합을 말할 때, 특별한 말이 없는 경우 부분공간 위상을 갖는 것으로 간주한다.

부분공간 위상의 기저 편집

전체 위상 공간 X 의 위상 T에 대한 기저 B 가 주어지면 부분공간의 위상에 대한 기저도 자연스럽게 얻어진다. 부분공간 위상의 정의와 마찬가지로 아래의 모임

 

은 부분공간 위상의 기저가 된다.

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여기서   은 표준적 위상을 갖는 실수선이다.

  • 실수  의 부분공간으로서의 자연수 집합  의 부분공간 위상은 이산 위상이다.
  • 실수  의 부분공간으로서의 유리수 집합  의 부분공간 위상은 이산 위상이 아니다. (예를 들어, {0} 이 열린 집합이 아니다. 0이외에도 임의의 유리수 점 q를 잡아 아무리 작은 입실론 값을 잡아 오픈 셋을 형성해도 유리수의 조밀성에 의해 {q}만 남게 만들 수가 없으므로 이산 위상이 아니다.)
  • 실수  의 부분공간으로서의 폐구간 [0,1] 은 부분공간 위상에선 열리고 닫힌 집합이지만, 실수 전체에서 보면 열린 집합은 아니지만 닫힌 집합이다.
  • 실수  의 부분공간으로서의   은 서로 만나지 않는 두 열린 집합의 합집합이므로 비연결공간이다.
  • 실수  의 부분공간으로서의 S = [0,1)에서 [0,½)는 열린 집합이지만, 실수 전체에선 열린 집합이 아니다. 마찬가지로, [½, 1)는 S에서 닫힌 집합이지만 실수 전체에선 닫힌 집합이 아니다. S 자체는 S에서 열린 집합이고 닫힌 집합이지만, 실수 전체에선 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니다.

성질 편집

  • YX에서 열린 집합이면 Y에서 열린 집합은 X에서도 열린 집합이다.
  • Y1, Y2 가 각각 X1, X2 의 부분집합이면 Y1 × Y2곱위상X1 × X2 의 부분공간 위상과 같다.

참고 문헌 편집