구간

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수학에서 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 부여한 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다.

실수 x에 양수 a를 더한 것을 수직선에 나타냈다. x보다 크고 x + a보다 작은 모든 수는 열린 구간에 포함된다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 주어졌다고 하자. 두 원소 $a,b\in X$에 대하여 $a\lesssim b\not \lesssim a$를 $a<b$로 표기하자. $X$ 위의 열린구간(-區間, 영어: open interval) 또는 개구간(開區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합을 의미한다 ($a,b\in X$).

$(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}$

$(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}$

$(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}$

$(-\infty ,\infty )=X$

마찬가지로, $X$ 위의 닫힌구간(영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間) $[a,b]$은 다음과 같은 꼴의 집합이다 ($a,b\in X$).

$[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}$

마찬가지로, $X$ 위의 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합이다 ($a,b\in X$).

$(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}$

$[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}$

$[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}$

$(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}$

표준적인 전순서를 갖춘 실수 $(\mathbb {R} ,\leq )$ 위의 구간은 가장 흔히 사용되는 구간이다. 이 경우 공집합과 한원소 집합을 제외한 구간, 다시 말해 끝점이 $-\infty \leq a<b\leq \infty$를 만족하는 경우만을 구간으로 삼기도 한다.

성질

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, $(a,\infty )$와 $(-\infty ,b)$ 꼴의 구간들의 집합을 부분 기저로 하여 생성된 위상을 순서 위상이라고 한다.

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 및 $x\in X$에 대하여, $\{x\}$의 상폐포·하폐포는 각각 $[x,\infty )$와 $(-\infty ,x]$이다.

실수 구간

(공집합이나 한원소 집합이 아닌) 실수 구간의 크기는 실수의 집합과 같은 $2^{\aleph _{0}}$이다.

실수선 $\mathbb {R}$의 부분 집합 $I\subseteq \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $I$는 (공집합과 한원소 집합을 포함한) 구간이다.
• $I$는 볼록 집합이다. 즉, 임의의 $a,b\in I$에 대하여, $(a,b)\subseteq I$이다.
• $I$는 연결 집합이다.
• $I$는 경로 연결 집합이다.
• $I$는 호 연결 집합이다.

실수 구간 $I\subseteq \mathbb {R}$의 양 끝점이 $-\infty \leq a\leq b\leq \infty$라고 하자. 그렇다면 구간 $I$의 길이(영어: length)는 다음과 같다.

$\mu (I)=b-a$

특히, 공집합이나 한원소 집합의 길이는 0이다. 구간의 길이는 $\mathbb {R}$ 위의 보렐 측도로 유일하게 확장할 수 있으며, 이를 (보렐 집합에 국한된) $\mathbb {R}$ 위의 르베그 측도라고 한다.

가산 개의 실수 구간들의 집합 ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ ($\operatorname {\#} {\mathcal {I}}\leq \aleph _{0}$) 및 실수 구간 $I\subseteq \mathbb {R}$이 주어졌을 때, 만약 ${\mathcal {I}}$가 $I$의 덮개를 이룬다면,

$\mu (I)\leq \sum _{J\in {\mathcal {I}}}\mu (J)$

이다.^{:3, §1, Theorem 1.5}

증명:

우선, $I=[a,b]$가 닫힌구간이며, ${\mathcal {I}}$가 열린구간들의 집합인 경우를 생각하자.

$c=\sup\{b_{n}\colon a\in (a_{1},b_{1}),b_{1}\in (a_{2},b_{2}),\dotsc ,b_{n-1}\in (a_{n},b_{n}),\;(a_{i},b_{i})\in {\mathcal {I}},\;n\in \mathbb {Z} ^{+}\}$

라고 하자. 만약 $c\leq b$라면, $c\in I$이므로, $c\in (a,b)$인 $(a,b)\in {\mathcal {I}}$가 존재하며, $b>c\geq b$가 되므로 모순이다. 따라서 $c>b$이며,

$a\in (a_{1},b_{1}),b_{1}\in (a_{2},b_{2}),\dotsc ,b_{n-1}\in (a_{n},b_{n})$

$b_{n}>b$

인 $(a_{i},b_{i})\in {\mathcal {I}}$가 존재한다. 따라서

$\mu (I)=b-a<b_{n}-a_{1}=b_{1}-a_{1}+\sum _{i=2}^{n}(b_{i}-b_{i-1})\leq \sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\leq \sum _{J\in {\mathcal {I}}}\mu (J)$

이다.

이제 일반적인 경우를 증명하자. 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, $\mu (J)=\mu (I)/(1+\epsilon )$인 부분 닫힌구간 $K\subseteq I$을 취하고, 각 $J\in {\mathcal {I}}$에 대하여 $|K_{J}|=(1+\epsilon )\mu (J)$인 열린구간 $K_{J}\supseteq J$을 취하자. 그렇다면 $\{K_{J}\}_{J\in {\mathcal {I}}}$는 $K$의 덮개를 이루므로,

${\frac {\mu (I)}{1+\epsilon }}=\mu (K)\leq \sum _{J\in {\mathcal {I}}}\mu (K_{J})=(1+\epsilon )\sum _{J\in {\mathcal {I}}}\mu (J)$

이다. 이에 $\epsilon \to 0$을 취하면

$\mu (I)\leq \sum _{J\in {\mathcal {I}}}\mu (J)$

를 얻는다.

외부 링크

• “Interval and segment”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interval”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Interval”. 《nLab》 (영어).