구간

(폐구간에서 넘어옴)

수학에서, 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 부여한 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다.

정의편집

원순서 집합  이 주어졌다고 하자. 두 원소  에 대하여   로 표기하자.   위의 열린구간(-區間, 영어: open interval) 또는 개구간(開區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합을 의미한다 ( ).

 
 
 
 

마찬가지로,   위의 닫힌구간(영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間)  은 다음과 같은 꼴의 집합이다 ( ).

 

마찬가지로,   위의 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합이다 ( ).

 
 
 
 

표준적인 전순서를 갖춘 실수   위의 구간은 가장 흔히 사용되는 구간이다. 이 경우 공집합한원소 집합을 제외한 구간, 다시 말해 끝점이  를 만족하는 경우만을 구간으로 삼기도 한다.

성질편집

임의의 원순서 집합  에 대하여,    꼴의 구간들의 집합을 부분 기저로 하여 생성된 위상순서 위상이라고 한다.

임의의 원순서 집합   에 대하여,  상폐포·하폐포는 각각   이다.

실수 구간편집

(공집합이나 한원소 집합이 아닌) 실수 구간의 크기는 실수의 집합과 같은  이다.

실수선  부분 집합  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

실수 구간  의 양 끝점이  라고 하자. 그렇다면 구간  길이(영어: length)는 다음과 같다.

 

특히, 공집합이나 한원소 집합의 길이는 0이다. 구간의 길이는   위의 보렐 측도로 유일하게 확장할 수 있으며, 이를 (보렐 집합에 국한된)   위의 르베그 측도라고 한다.

가산 개의 실수 구간들의 집합   ( ) 및 실수 구간  이 주어졌을 때, 만약   덮개를 이룬다면,

 

이다.[1]:3, §1, Theorem 1.5

증명:

우선,  가 닫힌구간이며,  가 열린구간들의 집합인 경우를 생각하자.

 

라고 하자. 만약  라면,  이므로,   가 존재하며,  가 되므로 모순이다. 따라서  이며,

 
 

 가 존재한다. 따라서

 

이다.

이제 일반적인 경우를 증명하자. 임의의 양의 실수  에 대하여,  인 부분 닫힌구간  을 취하고, 각  에 대하여  인 열린구간  을 취하자. 그렇다면   의 덮개를 이루므로,

 

이다. 이에  을 취하면

 

를 얻는다.

각주편집

  1. Oxtoby, John C. (1980). 《Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 2 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2. ISSN 0072-5285. MR 0584443. Zbl 0435.28011. 

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