대수학 에서 부분분수분해 (Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개 (partial fraction expansion)는 유리식 의 분자나 분모의 차수 를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역 이므로 유클리드 호제법 을 이용할 수 있다.
부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.
가분수를 대분수로 변형
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분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}
가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서
f
(
x
)
=
g
(
x
)
Q
(
x
)
+
R
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)Q(x)+R(x)}
Q
(
x
)
+
R
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle Q(x)+{\frac {R(x)}{g(x)}}}
다항식의 나눗셈에 의해 당연히
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
분자의 차수가 낮은 경우
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분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉,
다음과 같이 분해된다.
f
(
x
)
(
a
1
x
+
b
1
)
(
a
2
x
+
b
2
)
⋯
(
a
n
x
+
b
n
)
=
A
1
a
1
x
+
b
1
+
A
2
a
2
x
+
b
2
+
⋯
+
A
n
a
n
x
+
b
n
{\displaystyle {\frac {f(x)}{(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots (a_{n}x+b_{n})}}={\frac {A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}}+{\frac {A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}}}
여기서
A
1
,
.
.
.
.
,
A
n
{\displaystyle A_{1},....,A_{n}}
x
+
3
x
2
−
3
x
−
40
{\displaystyle {\frac {x+3}{x^{2}-3x-40}}}
위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가
(
x
−
8
)
(
x
+
5
)
{\displaystyle (x-8)(x+5)}
x
+
3
x
2
−
3
x
−
40
=
x
+
3
(
x
−
8
)
(
x
+
5
)
=
A
x
−
8
+
B
x
+
5
{\displaystyle {x+3 \over x^{2}-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}}
여기서
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
=
11
/
13
,
B
=
2
/
13
{\displaystyle A=11/13,B=2/13}
유용한 공식
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고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.
1
A
⋅
B
=
1
B
−
A
(
1
A
−
1
B
)
{\displaystyle {\frac {1}{A\cdot B}}={\frac {1}{B-A}}\left({\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}\right)}
좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다.
B
−
A
{\displaystyle B-A}
1
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
=
1
x
+
1
−
1
x
+
2
{\displaystyle {\frac {1}{(x+1)(x+2)}}={\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}}
1
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
=
a
x
+
1
−
b
x
+
2
=
a
(
x
+
2
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
−
b
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
(
x
+
1
)
=
a
(
x
+
2
)
−
b
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle {1 \over (x+1)(x+2)}={a \over x+1}-{b \over x+2}={a(x+2) \over (x+1)(x+2)}-{b(x+1) \over (x+2)(x+1)}={a(x+2)-{b(x+1)} \over (x+1)(x+2)}}
∴
1
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
=
a
(
x
+
2
)
−
b
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle \therefore {1 \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}={a(x+2)-{b(x+1)} \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}}
∴
1
=
a
(
x
+
2
)
−
b
(
x
+
1
)
{\displaystyle \therefore {1}={a(x+2)-b(x+1)}}
1
=
a
x
+
2
a
−
b
x
−
b
{\displaystyle {1}=ax+2a-bx-b}
1
=
(
a
−
b
)
x
+
(
2
a
−
b
)
{\displaystyle {1}=(a-b)x+(2a-b)}
우변의
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
빼면,
(
a
−
b
)
−
(
2
a
−
b
)
=
0
−
1
{\displaystyle (a-b)-(2a-b)=0-1}
a
−
b
−
2
a
+
b
=
−
1
{\displaystyle a-b-2a+b=-1}
−
a
=
−
1
{\displaystyle -a=-1}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
이번에는
(
a
−
b
)
=
0
,
(
2
a
−
b
)
=
1
{\displaystyle (a-b)=0,(2a-b)=1}
(
a
−
b
)
+
(
2
a
−
b
)
=
0
+
1
{\displaystyle (a-b)+(2a-b)=0+1}
a
−
b
+
2
a
−
b
=
1
{\displaystyle a-b+2a-b=1}
3
a
−
2
b
=
1
{\displaystyle 3a-2b=1}
3
a
−
2
b
=
1
{\displaystyle 3a-2b=1}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
3
−
2
b
=
1
{\displaystyle 3-2b=1}
−
2
b
=
1
−
3
{\displaystyle -2b=1-3}
−
2
b
=
−
2
{\displaystyle -2b=-2}
2
b
2
=
2
2
{\displaystyle {2b \over 2}={2 \over 2}}
b
=
1
{\displaystyle b=1}
∴
1
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
=
1
x
+
1
−
1
x
+
2
{\displaystyle \therefore {1 \over (x+1)(x+2)}={1 \over x+1}-{1 \over x+2}}
1
A
⋅
B
⋅
C
=
1
C
−
A
(
1
A
⋅
B
−
1
B
⋅
C
)
{\displaystyle {\frac {1}{A\cdot B\cdot C}}={\frac {1}{C-A}}\left({\frac {1}{A\cdot B}}-{\frac {1}{B\cdot C}}\right)}
분모의 인수분해 되지 않는 다항식
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분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.
a
x
2
+
b
x
+
c
(
d
x
+
e
)
(
f
x
2
+
g
x
+
h
)
=
A
1
d
x
+
e
+
A
2
x
+
A
3
f
x
2
+
g
x
+
h
{\displaystyle {\frac {ax^{2}+bx+c}{(dx+e)(fx^{2}+gx+h)}}={\frac {A_{1}}{dx+e}}+{\frac {A_{2}x+A_{3}}{fx^{2}+gx+h}}}
예를 들어 다음과 같다.
10
x
2
+
12
x
+
20
x
3
−
8
{\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}}
이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가
x
3
−
8
=
(
x
−
2
)
(
x
2
+
2
x
+
4
)
{\displaystyle x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)}
10
x
2
+
12
x
+
20
x
3
−
8
=
10
x
2
+
12
x
+
20
(
x
−
2
)
(
x
2
+
2
x
+
4
)
=
A
x
−
2
+
B
x
+
C
x
2
+
2
x
+
4
{\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}}
위와 같이 변형된다. 여기서
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
10
x
2
+
12
x
+
20
x
3
−
8
=
7
x
−
2
+
3
x
+
4
x
2
+
2
x
+
4
{\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}}
위와 같은 등식이 성립하게 된다.
분모의 거듭제곱된 항의 포함
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분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,
p
(
x
)
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
5
{\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x+3)^{5}}}
와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.
A
x
+
2
+
B
x
+
3
+
C
(
x
+
3
)
2
+
D
(
x
+
3
)
3
+
E
(
x
+
3
)
4
+
F
(
x
+
3
)
5
{\displaystyle {A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^{2}}+{D \over (x+3)^{3}}+{E \over (x+3)^{4}}+{F \over (x+3)^{5}}}
이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.
p
(
x
)
(
x
+
2
)
(
x
2
+
1
)
5
{\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x^{2}+1)^{5}}}
그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.
A
x
+
2
+
B
x
+
C
x
2
+
1
+
D
x
+
E
(
x
2
+
1
)
2
+
F
x
+
G
(
x
2
+
1
)
3
+
H
x
+
I
(
x
2
+
1
)
4
+
J
x
+
K
(
x
2
+
1
)
5
{\displaystyle {A \over x+2}+{Bx+C \over x^{2}+1}+{Dx+E \over (x^{2}+1)^{2}}+{Fx+G \over (x^{2}+1)^{3}}+{Hx+I \over (x^{2}+1)^{4}}+{Jx+K \over (x^{2}+1)^{5}}}
부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.
계산하기 어려운 값
편집
가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.
1
x
(
x
+
1
)
+
1
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
+
1
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
+
1
(
x
+
3
)
(
x
+
4
)
{\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}+{\frac {1}{(x+2)(x+3)}}+{\frac {1}{(x+3)(x+4)}}}
=
1
x
−
1
x
+
1
+
1
x
+
1
−
1
x
+
2
+
1
x
+
2
−
1
x
+
3
+
1
x
+
3
−
1
x
+
4
{\displaystyle ={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}+{\frac {1}{x+2}}-{\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{x+3}}-{\frac {1}{x+4}}}
=
1
x
−
1
x
+
4
{\displaystyle ={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+4}}}
적분하기 어려운 함수
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다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.
∫
2
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {2}{x^{2}-1}}dx}
그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.
∫
1
x
−
1
−
1
x
+
1
d
x
=
ln
|
x
−
1
|
−
ln
|
x
+
1
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}dx=\ln |x-1|-\ln |x+1|+C}
물론
C
{\displaystyle C}
적분상수 (Constant of integration )이다.
무한급수의 일반항
편집
다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.
2
−
x
(
1
−
x
)
2
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
{\displaystyle {\frac {2-x}{(1-x)^{2}}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }
이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.
2
−
x
(
1
−
x
)
2
=
1
1
−
x
+
1
(
1
−
x
)
2
{\displaystyle {\frac {2-x}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}}
이 때, 다음 등식을 이용한다.
1
(
1
−
x
)
2
=
d
d
x
1
1
−
x
=
d
d
x
∑
x
n
=
∑
(
n
+
1
)
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {d}{dx}}\sum x^{n}=\sum (n+1)x^{n}}
그리하여 다음을 얻는다.
1
1
−
x
+
1
(
1
−
x
)
2
=
∑
x
n
+
∑
(
n
+
1
)
x
n
=
∑
(
n
+
2
)
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum x^{n}+\sum (n+1)x^{n}=\sum (n+2)x^{n}}
역 라플라스 변환
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역 라플라스 변환 (Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식 을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.[1]
d
2
y
d
t
2
−
3
d
y
d
t
+
2
y
=
e
3
t
;
y
(
0
)
=
1
,
y
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-3{\frac {dy}{dt}}+2y=e^{3t};\;y(0)=1,y'(0)=0}
양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.
s
2
Y
(
s
)
−
s
−
3
[
s
Y
(
s
)
−
1
]
+
2
Y
(
s
)
=
1
s
−
3
{\displaystyle s^{2}Y(s)-s-3[sY(s)-1]+2Y(s)={\frac {1}{s-3}}}
그리하여 이를
Y
(
s
)
{\displaystyle Y(s)}
Y
(
s
)
=
1
(
s
−
3
)
(
s
2
−
3
s
+
2
)
+
s
−
3
s
2
−
3
s
+
2
=
1
(
s
−
1
)
(
s
−
2
)
(
s
−
3
)
+
s
−
3
(
s
−
1
)
(
s
−
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {1}{(s-3)(s^{2}-3s+2)}}+{\frac {s-3}{s^{2}-3s+2}}\\&={\frac {1}{(s-1)(s-2)(s-3)}}+{\frac {s-3}{(s-1)(s-2)}}\end{aligned}}}
그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.
Y
(
s
)
=
1
2
1
s
−
1
−
1
s
−
2
+
1
2
1
s
−
3
+
2
s
−
1
−
1
s
−
2
=
5
2
1
s
−
1
−
2
s
−
2
+
1
2
1
s
−
3
{\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s-2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-3}}+{\frac {2}{s-1}}-{\frac {1}{s-2}}\\&={\frac {5}{2}}{\frac {1}{s-1}}-{\frac {2}{s-2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-3}}\end{aligned}}}
그리하여 해는 다음과 같이 된다.
y
(
t
)
=
5
2
e
t
−
2
e
2
t
+
1
2
e
3
t
{\displaystyle y(t)={\frac {5}{2}}e^{t}-2e^{2t}+{\frac {1}{2}}e^{3t}}
같이 보기
편집
↑ Braun, Martin (1992). 《Differential Equations and Their Applications》. Springer-Verlag. 230~231쪽. ISBN 978-0-387-97894-9
더 많은 예가 필요하면 en:Partial fraction § Some_examples 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle s^{2}Y(s)-s-3[sY(s)-1]+2Y(s)={\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e994cdefe672487f9b393c62783c9272bea7e96b)
