불가촉 수
불가촉 수(Untouchable Number)는 수학자 에르되시 팔에 의해 만들어진 개념으로, 어떤 자연수 의 진약수들의 합으로도 나타낼 수 없는 자연수 을 불가촉 수라고 한다. 예를 들어 4는 불가촉 수가 아닌데, 4는 9의 진약수 1과 3의 합으로 표현될 수 있기 때문이다. 또한 불가촉 수가 아닌 어떤 자연수는 진약수의 합으로 표현될 수 있는 수가 두 가지 이상 존재하는 경우도 있다.
처음 열 개의 불가촉 수의 목록은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005114)
5는 유일한 홀수 불가촉 수로 생각되지만 증명되지 않았는데, 만약 골드바흐의 추측이 참이라면 증명이 된다. 또 이것이 증명 된다면 경우 2와 5를 제외한 모든 불가촉 수는 합성수라는 것도 역시나 자동으로 증명된다. 일단 예를 들어서 홀수 21에서 1을 빼면 20이 된다. 골드바흐의 추측에 의거하여 20을 두 소수의 합으로 나타내보면 3+17과 7+13으로 두 가지가 된다. 이 경우 각각 3×17=51은 진약수가 1, 3, 17이렇게 되고, 이를 더하면 21이며, 7×13=91일 때도 마찬가지로 91의 진약수는 1, 7, 13이고 이를 더하면 21 이렇게 되기 때문이다. 즉 이 말은 5보다 큰 홀수에서 1을 뺀 짝수를 두 소수 a, b의 합으로 나타내는 방식으로 표현될 수 있으연 해당 홀수는 a×b의 진약수 1, a, b의 합으로 나타낼 수 있으므로 불가촉 수가 될 수 없다는 이야기다. 단, 이때 두 소수 a, b는 반드시 서로 달라야 하기 때문에 원래의 골드바흐의 추측이 맞다는 사실만으로는 정확히 증명이 되지 않고, '6 보다 큰 모든 짝수는 서로 다른 두 소수의 합으로 표기될 수 있다'라는 좀 더 확장한 조건이 있어야 한다. 이것은 5가 유일한 홀수 불가촉 수가 확실하다는 사실을 증명을 하기 위한 충분한 조건일 뿐이다. 즉 골드바흐의 추측이 거짓이더라도 특정소수의 0제곱인 1부터 n제곱까지의 합과 2의 거듭제곱-1, 그리고 그 외의 약수가 6개 이상이면서 진약수의 총합이 홀수가 되는 수도 있으므로 5가 유일한 홀수 불가촉 수일 수도 있다는 말이다. 그리고 어떤 완전수도 불가촉 수가 될 수 없는데, 그 이유는 완전수의 정의가 자기 자신의 진약수의 합인 수이기 때문이다. 마찬가지로, 친화수나 사교수도 불가촉 수가 될 수 없다. 또한, 특정 소수의 0제곱부터 n제곱까지를 모두 더한 총합 즉 첫 항이 1이고 2의 거듭제곱 - 1을 포함한 등비가 소수인 등비수열의 합. 다시 말해 의 꼴(단, p는 소수)로 표현되고, p진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 수 역시 불가촉 수가 될 수 없다.
불가촉 수의 개수는 무한한데, 이것은 에르되시 팔에 의해 증명되었다.